Modelo de crecimiento y decrecimiento poblacional

Usualmente las ecuaciones diferenciales se emplean para modelar el comportamiento de un fenómeno a través del tiempo. De forma general, si consideramos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, estas estarán expresadas de la forma

x' + u(t) \cdot x = w(t)

Donde u y w son funciones que dependen de la variable t.

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Empecemos por considerar uno de los modelos más básicos de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden en un tiempo t: el caso homogéneo con coeficiente constante, es decir, tal que w(t)=0 y u(t)=k. En este caso, las ecuaciones estarán expresadas de la forma

x' - k \cdot x = 0 \Longleftrightarrow x' = k \cdot x

Con valor inicial x(0)=x_{0}. En este caso la constante k será conocida como constante de proporcionalidad y este tipo de ecuaciones sirve para describir diversos fenómenos de crecimiento y decrecimiento.

Las aplicaciones de este modelo pueden variar entre crecimiento de una población de bacterias, media-vida (variable que se usa para describir la estabilidad de sustancias radiactivas), pruebas de carbono 14 (para medir qué tan antiguo es un fósil) o incluso para determinar en cuánto tiempo se enfría una torta, sin embargo, durante este curso consideraremos de forma particular la forma en que crece la población de una determinada localidad.

Formalmente, si definimos la variable P(t) para denotar el tamaño de la población en un tiempo t, la forma en que varía el tamaño de la población respecto al tiempo se puede describir calculando la derivada de la variable P respecto al tiempo t, es decir, P'(t) = \frac{dP}{dt}(t).

Para poder emplear este tipo de modelos, debemos suponer que la forma en que varía la población en un instante de tiempo t es proporcional al tamaño de la población en dicho tiempo t, de esta forma, obtenemos la siguiente igualdad

P'(t) = k \cdot P(t)

Notando que esta igualdad representa una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden homogénea y puede usarse para predecir el tamaño de la población en el futuro, es decir, para algún t>t_{0}. Y sabiendo el tamaño de la población en un punto t_0 entonces podemos definir una ecuación diferencial con problema de valor inicial de la siguiente forma:

P'(t) = k \cdot P(t) \ , \ P(t_{0}) = P_0

Representando la ecuación diferencial de esta forma, la constante de proporcionalidad se puede determinar a partir de la solución con el valor inicial dado.

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Ejemplo

Mediante un censo poblacional en el año 1970, el tamaño de la población de una pequeña ciudad fue de aproximadamente 74 000 habitantes. En el censo poblacional del año 2000 se estimó que el tamaño de la población fue de 200 000 habitantes. Considerando que el tamaño de esta población ha crecido de forma proporcional, ¿cuál será el tamaño de la población en el año 2030?

Antes de establecer el modelo que define el crecimiento de esta población, es necesario definir las variables involucradas.

El primer censo se efectuó en el año 1970, entonces consideramos a este como el valor inicial t_{0} = 1970. Sin embargo, para agilizar los cálculos, podemos considerar t_{0} = 0 y así, P_{0} = 70000.

Partiendo del hecho que el tamaño de esta población ha crecido de forma proporcional, planteamos la siguiente ecuación diferencial

P'(t) = k \cdot P(t) \ , \ P(t_0) = P_{0} = 70000

Al ser esta una ecuación de variables separables, procedemos a calcular su solución con el respectivo valor inicial.

P' = k P

\; \Rightarrow \; \frac{dP}{dt} = k P

\; \Rightarrow \; \frac{dP}{P} = k dt

\; \Rightarrow \; \int \frac{dP}{P} = \int k dt

\; \Rightarrow \; \ln(P) = kt + C

\; \Rightarrow \; P = \textit{\Large e}^{kt + C}

\; \Rightarrow \; P = \textit{\Large e}^{kt} \textit{\large e}^{C}

\; \Rightarrow \; P = C \textit{\Large e}^{kt}

Tomando en cuenta que hemos considerado t_{0} = 0, entonces

P_{0} = C \textit{\Large e}^{k \cdot (0)} \; \Rightarrow \; 70000 = C \cdot 1 \; \Rightarrow \; C = 70000

Entonces, la solución de la ecuación diferencial planteada con el problema de valor inicial está dada por

P = 70000 \textit{\Large e}^{kt}

Sin embargo, aún no hemos determinado el valor de la constante de proporcionalidad k. Para esto, debemos recurrir a la otra información aportada en el enunciado del problema.

El segundo censo se efectuó en el año 2000, entonces al haberse efectuado 30 años después consideramos a este como el valor en el trigésimo periodo t_{30} = 2000 y así, P(30) = 200000. De esta forma, podemos plantear la siguiente igualdad

P(30) = 70000 \textit{\Large e}^{kt}

Y a partir de esta igualdad, podemos despejar k.

\; \Rightarrow \; 200000 = 70000 \textit{\Large e}^{k \cdot 30}

\; \Rightarrow \; \frac{200000}{70000} = \textit{\Large e}^{k \cdot 30}

\; \Rightarrow \; 2.8571 = \textit{\Large e}^{k \cdot 30}

\; \Rightarrow \; \ln \left( 2.8571 \right) = k \cdot 30

\; \Rightarrow \; \frac{\ln \left( 2.8571 \right)}{30} = k

\; \Rightarrow \; k \approx 0,03499

De esta forma, la fórmula general para calcular el tamaño de la población está definida de la siguiente forma:

P(t) = 70000 \textit{\Large e}^{0,03499 \cdot t}

Para calcular el tamaño de la población en el año 2030, debemos tomar en cuenta que si el año inicial fue 1970, entonces el año 2030 corresponde al sexagésimo periodo, es decir, t_{60} = 2030. Entonces, evaluamos la función en 60.

P(60) = 70000 \textit{\Large e}^{(0,03499) \cdot (60)} \; \Rightarrow \; P(60) = 571289


Depreciación Porcentual

Al estudiar la depreciación simple, hemos visto como un bien pierde su valor describiéndolo de forma lineal, es decir, cuando su valor ser pierde de forma constante a través del tiempo. Este no siempre será el caso, pues en ocasiones el valor de un bien se pierde dependiendo de las condiciones que se encuentre actualmente.

Digamos que este bien se adquiere en V_1 y que este se deprecia en un r por ciento cada cierto periodo de tiempo. Entonces, tenemos que

Durante el transcurso del primer periodo, este bien tiene un valor de

Durante el transcurso del segundo periodo, este bien ha perdido un r por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de V_{2} = V_{1} - V_{1} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado V_{1} como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del tercer periodo, este bien ha perdido un r por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de V_{3} = V_{2} - V_{2} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado V_{2} como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del cuarto periodo, este bien ha perdido un r por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de V_{3} - V_{3} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado V_{3} como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del n-ésimo periodo, este bien ha perdido un r por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de V_{n-1} - V_{n-1} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado V_{n-1} como un factor común, obtenemos

De esta forma, tenemos que en el n-ésimo periodo, el valor del bien está dado por

Notando entonces que el valor de este bien durante el transcurso del n-ésimo periodo está determinando por una sucesión geométrica decreciente, a esta expresión se le conoce como la fórmula de depreciación porcentual, al valor V_1 se le conoce como valor inicial y a r se le conoce como la tasa porcentual de depreciación. Veamos entonces algunos ejemplos donde podemos aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de V_1 = 3297 Ps. y esta se deprecia en un r = 33.44 por ciento anual. Determine su valor en el año 4.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 3297 \cdot \left(1 - \frac{ 33.44 }{ 100 } \right)^{ 4 -1} = 972.21

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 4 es de 972.21 Ps.

Ejemplo 2

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de V_1 = 9175 Ps. y esta se deprecia en un r = 4.406 por ciento anual. Determine su valor en el año 10.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 9175 \cdot \left(1 - \frac{ 4.406 }{ 100 } \right)^{ 10 -1} = 6116.2

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 10 es de 6116.2 Ps.

Ejemplo 3

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de V_1 = 1655 Ps. y esta se deprecia en un r = 29.374 por ciento anual. Determine su valor en el año 8.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 1655 \cdot \left(1 - \frac{ 29.374 }{ 100 } \right)^{ 8 -1} = 145.06

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 8 es de 145.06 Ps.

Ejemplo 4

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de V_1 = 4308 Ps. y esta se deprecia en un r = 28.207 por ciento anual. Determine su valor en el año 2.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 4308 \cdot \left(1 - \frac{ 28.207 }{ 100 } \right)^{ 2 -1} = 3092.84

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 2 es de 3092.84 Ps.


Determinar la fórmula general de depreciación porcentual

Considerando que la fórmula depreciación porcentual está determinada por una sucesión geométrica, es posible determinar la fórmula general de depreciación conociendo el valor que tuvo el bien en dos años distintos.

Formalmente, si consideramos el valor que el bien adquirió en dos años distintos, digamos V_i = V_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(i-1)} y V_j = V_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(j-1)}, podemos determinar el valor de V_1 y de r calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de depreciación porcentual usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando que una moledora de carne tuvo un valor de V_{10} = 6319 en el año 10 y V_{13} = 2710 en el año 13 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{V_1}{V_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-3)} = \frac{6319}{2710}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-3} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, el valor inicial del bien es V_1 = \frac{74591179153}{931112} \approx 80109.78 y la tasa porcentual de depreciación es de r = \frac{16100067}{654793} \approx 24.59 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

V_n = \frac{74591179153}{931112} \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{16100067}{654793}}{100}\right)^{(n-1)}

Ejemplo 6

Considerando que una amasadora tuvo un valor de V_{3} = 6278 en el año 3 y V_{19} = 2517 en el año 19 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{V_1}{V_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-16)} = \frac{6278}{2517}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-16} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, el valor inicial del bien es V_1 = \frac{7021696079}{997708} \approx 7037.83 y la tasa porcentual de depreciación es de r = \frac{4725327}{851057} \approx 5.55 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

V_n = \frac{7021696079}{997708} \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{4725327}{851057}}{100}\right)^{(n-1)}

Ejemplo 7

Considerando que una batidora de cemento tuvo un valor de V_{2} = 4124 en el año 2 y V_{3} = 2929 en el año 3 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{V_1}{V_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-1)} = \frac{4124}{2929}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-1} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, el valor inicial del bien es V_1 = \frac{17007376}{2929} \approx 5806.55 y la tasa porcentual de depreciación es de r = \frac{29875}{1031} \approx 28.98 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

V_n = \frac{17007376}{2929} \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{29875}{1031}}{100}\right)^{(n-1)}

Ejemplo 8

Considerando que una máquina de espresso tuvo un valor de V_{1} = 3501 en el año 1 y V_{17} = 2377 en el año 17 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{V_1}{V_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-16)} = \frac{3501}{2377}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-16} para obtener que

Una vez calcculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, el valor inicial del bien es V_1 = 3501 y la tasa porcentual de depreciación es de r = \frac{1236633}{517201} \approx 2.39 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

V_n = 3501 \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{1236633}{517201}}{100}\right)^{(n-1)}


El valor de desecho

A medida que un bien pierde su valor, llega un punto en el que entrará en desuso o que su reventa no presentará un ingreso significativo, a este valor se le conoce como valor de desecho (o valor residual) y los años que pasan desde que se adquiere el bien hasta que su valor es igual al valor de desecho, se conoce como vida útil del bien.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular la vida útil de un bien considerando que su depreciación ha sido porcentual.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de V_1 = 8379 Ps. y esta se deprecia en r = 7.159 por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 4190 .

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 8379 \cdot \left( 1 - \frac{7.159}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 4190, es decir, para el cual 8379 \cdot \left( 1 - \frac{7.159}{100} \right)^{(n-1)} = 4190 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la moledora de carne tiene una vida útil de aproximadamente 10 años.

Ejemplo 10

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de V_1 = 6523 Ps. y esta se deprecia en r = 18.953 por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 815.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 6523 \cdot \left( 1 - \frac{18.953}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 815, es decir, para el cual 6523 \cdot \left( 1 - \frac{18.953}{100} \right)^{(n-1)} = 815 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la amasadora tiene una vida útil de aproximadamente 11 años.

Ejemplo 11

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de V_1 = 9292 Ps. y esta se deprecia en r = 33.818 por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 3097.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 9292 \cdot \left( 1 - \frac{33.818}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 3097, es decir, para el cual 9292 \cdot \left( 1 - \frac{33.818}{100} \right)^{(n-1)} = 3097 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la batidora de cemento tiene una vida útil de aproximadamente 4 años.

Ejemplo 12

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de V_1 = 6181 Ps. y esta se deprecia en r = 17.541 por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 2060.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 6181 \cdot \left( 1 - \frac{17.541}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 2060, es decir, para el cual 6181 \cdot \left( 1 - \frac{17.541}{100} \right)^{(n-1)} = 2060 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la máquina de espresso tiene una vida útil de aproximadamente 7 años.


Depreciación Simple

Es un hecho que el tiempo erosiona el valor de cualquier objeto, ya sea por quedar obsoleto, por desgaste o por pérdida de funcionalidad. Esta es una situación que hay que tener en consideración siempre que se adquiere un bien. Suponga de forma particular que una empresa adquiere un bien y desea determinar su valor con el pasar de los años, ya que de esta forma podrá proyectar la fecha en la que se deba desechar o sustituir por uno nuevo.

Digamos que este bien se adquiere en V_1 Perolitos (Ps) y que este se deprecia a razón de r Ps. por año. Entonces, tenemos que

Durante el transcurso del primer año, este bien tiene un valor de

V_1

Durante el transcurso del segundo año, este bien tiene un valor de

V_1 - r

Durante el transcurso del tercer año, este bien tiene un valor de

V_1 - 2r

Y así sucesivamente, podemos concluir que durante el transcurso del n-ésimo año, este bien tiene un valor de

V_1 - (n-1)r

Notando entonces que el valor de este bien en el n-ésimo año está determinando por una sucesión aritmética decreciente, a esta expresión se le conoce como la fórmula de depreciación simple, al valor V_1 se le conoce como valor inicial y a r se le conoce como la tasa de depreciación. Veamos entonces algunos ejemplos donde podemos aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de V_1 = 9336 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 577 Ps. Determine su valor en el año 6.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 9336 +577 \cdot ( 6 -1) = 6451

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 6 es de 6451 Ps.

Ejemplo 2

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de V_1 = 1495 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 132 Ps. Determine su valor en el año 8.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 1495 +132 \cdot ( 8 -1) = 571

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 8 es de 571 Ps.

Ejemplo 3

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de V_1 = 2002 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 160 Ps. Determine su valor en el año 7.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 2002 +160 \cdot ( 7 -1) = 1042

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 7 es de 1042 Ps.

Ejemplo 4

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de V_1 = 9963 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 159 Ps. Determine su valor en el año 5.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 9963 +159 \cdot ( 5 -1) = 9327

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 5 es de 9327 Ps.


Determinar la fórmula general depreciación simple

Considerando que la depreciación simple está determinada por una sucesión aritmética, es posible determinar la fórmula general de depreciación conociendo el valor que tuvo el bien en dos años distintos.

Formalmente, si consideramos el valor que el bien adquirió en dos años distintos, digamos V_i = V_1 - (i-1) \cdot r y V_j = V_1 - (j-1) \cdot r, podemos determinar el valor de V_1 y de r calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de una sucesión aritmética usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando que una moledora de carne tuvo un valor de V_{8} = 9284 en el año 8 y V_{17} = 6974 en el año 17 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que V_1 - V_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(9) \cdot r = 2310

A partir de esta ecuación podemos despejar r, para obtener que r = \frac{ 2310 }{ 9 } y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de V_1 = \frac{33242}{3} \approx 11081 latex y la tasa de depreciación es de r = \frac{770}{3} \approx 257 , podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

V_n = \frac{33242}{3} - (n-1) \cdot \left( \frac{770}{3} \right)

Ejemplo 6

Considerando que una amasadora tuvo un valor de V_{8} = 9834 en el año 8 y V_{15} = 8155 en el año 15 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que V_1 - V_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(7) \cdot r = 1679

A partir de esta ecuación podemos despejar r, para obtener que r = \frac{ 1679 }{ 7 } y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de V_1 = 11513 y la tasa de depreciación es de r = \frac{1679}{7} \approx 240 , podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

V_n = 11513 - (n-1) \cdot \left( \frac{1679}{7} \right)

Ejemplo 7

Considerando que una batidora de cemento tuvo un valor de V_{15} = 9091 en el año 15 y V_{17} = 1535 en el año 17 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que V_1 - V_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(2) \cdot r = 7556

A partir de esta ecuación podemos despejar r, para obtener que r = \frac{ 7556 }{ 2 } y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de V_1 = 61983 y la tasa de depreciación es de r = 3778, podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

V_n = 61983 - (n-1) \cdot \left( 3778 \right)

Ejemplo 8

Considerando que una máquina de espresso tuvo un valor de V_{3} = 3486 en el año 3 y V_{7} = 3439 en el año 7 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que V_1 - V_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(4) \cdot r = 47

A partir de esta ecuación podemos despejar r, para obtener que r = \frac{ 47 }{ 4 } y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de V_1 = \frac{7019}{2} \approx 3510 latex y la tasa de depreciación es de r = \frac{47}{4} \approx 12 , podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

V_n = \frac{7019}{2} - (n-1) \cdot \left( \frac{47}{4} \right)


El valor de desecho

A medida que un bien pierde su valor, llega un punto en el que entrará en desuso o que su reventa no presentará un ingreso significativo, a este valor se le conoce como valor de desecho (o valor residual) y los años que pasan desde que se adquiere el bien hasta que su valor es igual al valor de desecho, se conoce como vida útil del bien.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular la vida útil de un bien.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de V_1 = 6397 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 541 Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 1066.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 6397 - 541 \cdot (n -1)

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 1066 , es decir, para el cual 6397 +541 \cdot (n -1) = 1066 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la moledora de carne tiene una vida útil de aproximadamente 11 años.

Ejemplo 10

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de V_1 = 8059 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 376 Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 1343.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 8059 - 376 \cdot (n -1)

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 1343 , es decir, para el cual 8059 +376 \cdot (n -1) = 1343 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la amasadora tiene una vida útil de aproximadamente 19 años.

Ejemplo 11

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de V_1 = 2663 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 161 Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 666.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 2663 - 161 \cdot (n -1)

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 666 , es decir, para el cual 2663 +161 \cdot (n -1) = 666 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la batidora de cemento tiene una vida útil de aproximadamente 13 años.

Ejemplo 12

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de V_1 = 8530 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 206 Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 2132.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 8530 - 206 \cdot (n -1)

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 2132 , es decir, para el cual 8530 +206 \cdot (n -1) = 2132 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la máquina de espresso tiene una vida útil de aproximadamente 32 años.


Curvas de Indiferencia y TMS

En la economía, la utilidad estudia el nivel de satisfacción de un individuo respecto a la forma en que este clasifica distintas situaciones, sin embargo, este tipo de funciones no se pueden cuantificar de forma rigurosa pues la satisfacción es algo muy subjetivo ya que la utilidad de una persona no sólo depende de los bienes materiales que consume, sino también de sus actitudes psicológicas, de las presiones de su grupo social, de sus experiencias personales y del entorno cultural en general según Walter Nicholson en su libro de Teoría Microeconómica, Principios básicos y ampliaciones, es por esto que se restringe el estudio de este tipo de funciones a variables que se puedan medir como las cantidades relativas de alimento, horas de trabajo semanales o tasas fiscales, las variables que no podemos medir se suponen como constantes, esto se le llama en los libros de texto económicos ceteris paribus.

Consideremos el caso particular en que una vez presentados n bienes distintos, un individuo debe escoger cantidades x_1, x_2, \ldots, x_n de dichos bienes. Entonces, representaremos la forma en que este individuo clasifica estos bienes definiendo una función de utilidad de la siguiente forma:

U(x_1, x_2, \ldots, x_n)

Cuando sólo se toman en consideración dos bienes, entonces la función de utilidad se expresa sólo para la cantidad de estos dos bienes x y y:

U(x,y)

La curva de nivel U(x,y) = U_0 representa todas las combinaciones de x y y que proveen al individuo un nivel de satisfacción igual a U_0. Esta curva de nivel se llama curva de indiferencia pues al ellas representar todas las combinaciones de las canastas del mercado que proveen al individuo el mismo nivel de satisfacción, este se mostrará indiferente entre una canasta y otra. De forma general, si la función U(x,y) es una función de Cobb-Douglas, su gráfica estará representada de la siguiente forma:

La curva de indiferencia además de mostrar las combinaciones de los bienes x y y, nos permiten observar que en que medida un individuo está dispuesto a intercambiar los bienes para obtener el mismo nivel de satisfacción. De forma que si tiene las cantidades x_0 y y_0 de un bien, la cantidad de unidades de y que intercambia para obtener una unidad de x está definida como la tasa marginal de sustitución (TMS) y está determinada por la pendiente negativa de la curva U_0 en el punto (x_0,y_0), es decir,

TMS = -\frac{dy}{dx}

Calculada a partir de la función implícita U(x,y)=U_0.

Es posible determinar la tasa marginal de sustitución calculando derivadas parciales pues si tomamos en cuenta que el diferencial de la función de utilidad está dada por dU = \frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial U}{\partial y} dy, entonces el diferencial de la curva de nivel U_0 será

\frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial U}{\partial y} dy = 0 \ \Longrightarrow \ \frac{\partial U}{\partial y} dy = -\frac{\partial U}{\partial x} dx

A partir de esta igualdad, podemos obtener la derivada \frac{dy}{dx} haciendo un abuso del lenguaje para despejar los diferenciales de x y y de la siguiente forma

\frac{dy}{dx} = -\frac{\dfrac{\partial U}{\partial x}}{\dfrac{\partial U}{\partial y}} \ \Longrightarrow \ -\frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{\partial U}{\partial x}}{\dfrac{\partial U}{\partial y}} \ \Longrightarrow \ TMS = \frac{\dfrac{\partial U}{\partial x}}{\dfrac{\partial U}{\partial y}}


Curva Isocuanta y TTS

Si una empresa decide fijar su producción en una cantidad P_0, una vez que ha determinado que su función de producción está dada de la forma P(L,K), podemos representar mediante una curva de nivel todas las combinaciones posibles de trabajo y capital que mantendrán la producción fija en P_0. Esta curva de nivel será llamada Curva Isocuanta (igual cantidad) y de forma general, si la función P(L,K) es una función de Cobb-Douglas, su gráfica estará definida de la siguiente forma:

La curva isocuanta además de mostrar las combinaciones de los bienes L y K, nos permiten observar que en que medida se puede intercambiar capital por trabajo manteniendo el mismo nivel de producción. De forma que si se trabajan L_0 horas semanales y se invierten K_0 unidades de capital, la cantidad de unidades de K que se intercambian por unidades de trabajo L está definida como la tasa técnica de sustitución (TTS) y está determinada por la pendiente negativa de la curva P_0 en el punto (L_0,K_0), es decir,

TMS = -\frac{dL}{dK}

Calculada a partir de la función implícita P(L,K)=P_0.

Es posible determinar la tasa marginal de sustitución calculando derivadas parciales pues si tomamos en cuenta que el diferencial de la función de utilidad está dada por dP = \frac{\partial P}{\partial L} dL + \frac{\partial P}{\partial K} dK, entonces el diferencial de la curva de nivel P_0 será

\frac{\partial P}{\partial L} dL + \frac{\partial P}{\partial K} dK = 0 \ \Longrightarrow \ \frac{\partial P}{\partial K} dK = -\frac{\partial P}{\partial L} dL

A partir de esta igualdad, podemos obtener la derivada \frac{dK}{dL} haciendo un abuso del lenguaje para despejar los diferenciales de L y K de la siguiente forma

\frac{dK}{dL} = -\frac{\frac{\partial P}{\partial L}}{\frac{\partial P}{\partial K}} \ \Longrightarrow \ -\frac{dK}{dL} = \frac{\frac{\partial P}{\partial L}}{\frac{\partial P}{\partial K}} \ \Longrightarrow \ TMS = \frac{\frac{\partial P}{\partial L}}{\frac{\partial P}{\partial K}}