Derivadas

09.03.202010.04.2023 Anthonny Arias-García10 comentarios

Consideremos una función lineal definida por una recta $l_1$ , decimos que la pendiente de ésta determina la razón de cambio entre un punto y otro; y es que está definida como el cociente del cambio en el eje Y entre el cambio en el eje X. Formalmente, si $(x_0,y_0)$ y $(x_1,y_1)$ son dos puntos de esta recta entonces su razón de cambio desde $x_0$ hasta $y_0$ está definida por

$m=\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

De la forma en que hemos definido la razón de cambio para las funciones lineales, permite definir una forma general para la razón de cambio entre cualesquiera dos puntos pues siempre es la misma. Pero, ¿es posible definir una forma general para la razón de cambio para cualquier función?

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La derivada de una función en un punto

Si consideramos cualquier función $y=f(x)$ , es posible estimar la razón de cambio de la misma forma que lo hemos hecho con las funciones lineales, es decir, si $(x_0,y_0)$ y $(x_1,y_1)$ son dos puntos de esta recta entonces su razón de cambio desde $x_0$ hasta $y_0$ está definida por

$m=\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

Gráficamente podemos notar que hay cierta holgura en nuestra estimación, así que podemos decir que no es precisa. Podemos mejorar esta estimación considerando un punto $(x_2,y_2)$ más cercano a $(x_0,y_0)$ y así, la razón de cambio está definida por

$m=\frac{y_2 - y_0}{x_2 - x_0}$

Incluso, si consideramos un punto $(x_3,y_3)$ aún más cercano a $(x_0,y_0)$ , la estimación será más precisa y así, la razón de cambio está definida por

$m=\frac{y_3 - y_0}{x_3 - x_0}$

De esta forma podemos notar que mientras más cercano está el punto de $(x_0,y_0)$ , más precisa será nuestra estimación de la razón de cambio. Entonces, consideramos puntos $(x,y)$ lo más cercanos posibles recurriendo al cálculo infinitesimal, es decir, al cálculo de límites.

Formalmente, si consideramos el límite cuando $x$ tiende a $x_0$ , entonces la razón de cambio puntual estará dada por $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ . A este límite lo llamamos derivada de la función $f(x)$ en el punto $x_0$ y lo denotaremos de la siguiente forma

$\displaystyle f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la curva definida por $f(x)$ en el punto $(x_0,f(x_0))$ , es decir, la recta que corta a la curva $f(x)$ únicamente en el punto $(x_0,f(x_0))$ de la siguiente forma:

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Un ejemplo particular

Veamos un ejemplo particular, consideremos la función cuadrática $f(x)=x^2$ y suponga que queremos calcular su derivada en en $x_0 = 2$ . Entonces, su derivada está definida por el siguiente límite:

$\displaystyle f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

$\displaystyle = \frac{4-4}{2-2}$

$\displaystyle = \frac{0}{0}$

Este límite presenta una indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$ , así que procedemos a determinarlo considerando que el numerador es una diferencia de cuadrados,

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} x + 2$

$\displaystyle = 2+2$

$\displaystyle = 4$

Entonces la razón de cambio puntual de la función cuadrática en el punto $x_0 = 2$ es igual a $4$ , geométricamente estamos diciendo que la pendiente de la recta tangente a la curva $f(x)=x^2$ en el punto $(2,4)$ es igual a $4$ .

La derivada de una función en cualquier punto

Suponga ahora que queremos calcular la derivada en los puntos $x_0 = 3$ y $x_0 = -5$ , entonces, ¿debemos calcular el límite cada vez? No necesariamente, pues podemos determinar una fórmula general para calcular la derivada de la función cuadrática en cualquier punto $x$ . Para esto sigamos algunos pasos de forma muy cuidadosa.

Consideremos, una variable auxiliar definida como $h=x-x_0$ , esta tenderá a cero cuando $x$ tiende a $x_0$ , y además, si despejamos $x$ , obtenemos lo siguiente:

$x = x_0+ h$

Entonces, podemos reescribir la derivada de la función $f(x)$ en el punto $x_0$ de la forma

$\displaystyle f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Entonces, evaluamos la función en $x_0 + h$ y $x_0$ para luego aplicar producto notable y obtener que

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x_0 + h)^2 - (x_0)^2}{h}$

$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{x_0^2 + 2 x_0 h + h^2 - x_0^2}{h}$

$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{2 x_0 h + h^2 }{h}$

Sacamos $h$ como un factor común en el numerador, posteriormente lo simplificamos tomando en cuenta el $h$ que está en el numerador y evaluamos el límite.

$\lim_{h \to 0} \frac{(2 x_0 + h) \cdot h}{h}$

$\displaystyle = \lim_{h \to 0} 2 x_0 + h$

$\displaystyle = 2 x_0 + 0$

$\displaystyle = 2 x_0$

Considerando que $x_0$ es cualquier elemento en el dominio de la función cuadrática, podemos establecer una fórmula general para su derivada, es decir, si $f(x) = x^2$ entonces su derivada en cualquier punto $x$ de su dominio está definida como

$f'(x) = 2x$

De modo que la derivada de la función $f(x)=x^2$ en los puntos $x_0 = 3$ y $x_0 = -5$ es $f'(3)=2(3)=6$ y $f'(-5)=2(-5)=-10$ , respectivamente.

Es posible establecer fórmulas generales para la derivada de todas las funciones elementales de la misma forma que lo hemos hecho con la función cuadrática y aunque no desarrollaremos los cálculos de forma exhaustiva, podemos hacer una lista de estas derivadas, conocida como la Tabla de Derivadas Elementales

Tabla de Derivadas Elementales

$f(x)$	$f'(x)$
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$	$n \cdot x^n$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$

$f(x)$	$f'(x)$
$a^x$	$a^x \cdot \ln(x)$
$\textit{\large e}^x$	$\textit{\large e}^x$
$\log_a(x)$	$\dfrac{1}{x \cdot \ln(x)}$
$\ln(x)$	$\dfrac{1}{x}$

$f(x)$	$f'(x)$
$sen(x)$	$cos(x)$
$cos(x)$	$-sen(x)$
$tan(x)$	$\dfrac{1}{cos^2(x)}$

El trinomio cuadrado perfecto

29.02.202007.12.2022 Anthonny Arias-García2 comentarios

De los productos notables, que son casos particulares de la propiedad distributiva, el más importante es el que nos da como resultado el trinomio cuadrado perfecto y establece que, si $a$ y $b$ son dos números reales, el cuadrado de la suma de ellos dos es igual al primero al cuadrado más dos veces el producto del primero por el segundo más el segundo al cuadrado, es decir,

El trinomio cuadrado perfecto | totumat.com

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Esta igualdad se puede deducir efectuando la propiedad distributiva cuando multiplicamos la suma de dos números por esa misma suma, veamos entonces,

De igual forma, si $a$ y $b$ son dos números reales, el cuadrado de la resta entre ellos dos es igual al primero al cuadrado menos dos veces el producto del primero por el segundo más el segundo al cuadrado, es decir,

Esta igualdad se puede deducir efectuando la propiedad distributiva cuando multiplicamos la resta de dos números por esa misma resta, veamos entonces,

Este tipo de expresiones se encuentra a menudo en el desarrollo las operaciones algebraicas pues no siempre podremos efectuar la suma que se encuentra dentro de los paréntesis, veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta operación:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Aplique el producto notable para expandir la expresión $(3 + 2)^2$ . Sumamos los dos elementos dentro del paréntesis y elevamos al cuadrado de la siguiente manera:

$(3 + 2)^2$
$\ =\ 5^2$
$\ =\ 25$

Ejemplo 2

Aplique el producto notable para expandir la expresión $(3 + \sqrt{2})^2$ . Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de dos, por lo tanto no se puede sumar con tres.

$(3 + \sqrt{2})^2$
$\ =\ 3^2 + 2(3)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2$
$\ =\ 9 + 6\sqrt{2} + 2$
$\ =\ 11+6\sqrt{2}$

Ejemplo 3

Aplique el producto notable para expandir la expresión $(\sqrt[3]{6} - 4)^2$ . Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cúbica de seis, por lo tanto no se puede restar con cuatro.

$(\sqrt[3]{6} - 4)^2$
$\ =\ (\sqrt[3]{6})^2 -2(\sqrt[3]{6})(4) + 4^2$
$\ =\ (\sqrt[3]{6})^2 -8\sqrt[3]{6} +16$

Ejemplo 4

Aplique el producto notable para expandir la expresión $(x+7)^2$ . Notemos que uno de los sumandos involucrados es una incógnita, por lo tanto no se puede sumar con siete.

$(x+7)^2$
$\ =\ x^2 + 2(x)(7) + 7^2$
$\ =\ x^2 +14x + 49$

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Ejemplo 5

Aplique el producto notable para expandir la expresión $(2x-8)^2$ . Notemos que uno de los sumandos involucrados es una incógnita multiplicada por dos, por lo tanto no se puede restar con ocho.

$(2x-8)^2$
$\ =\ (2x)^2 - 2(2x)(8) + 8^2$
$\ =\ 4x^2 - 32x + 64$

Ejemplo 6

Aplique el producto notable para expandir la expresión $(x^2 + x^5)^2$ . Notemos que uno de los sumandos involucrados es equis al cuadrado y el otro es equis elevado a la cinco, por lo tanto no se pueden sumar.

$(x^2 + x^5)^2$
$\ =\ (x^2)^2 + 2(x^2)(x^5) + (x^5)^2$
$\ =\ x^4 + 2x^7 + x^{10}$

Indeterminación uno a la infinito 1^∞

26.02.202012.04.2026 Anthonny Arias-García3 comentarios

Hasta ahora hemos estudiado el límite de las operaciones básicas entre funciones, sin embargo, si consideramos dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ , tal que $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$ y $\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty$ , entonces, ¿hacia dónde tiende la función $f(x)^{g(x)}$ cuando $x$ tiende a infinito? Básicamente estamos obtenemos lo siguiente

$\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)} = 1^{\infty}$

Esta última expresión representa una indeterminación, ya que al tender $x$ hacia el infinito, por un lado la función $f(x)$ está muy cerca de uno y por otro lado la función $g(x)$ se hace cada vez más grande, entonces, no se queda claro, ¿a la función crece? ¿la función decrece? ¿la función tiende a 1?

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La técnica para determinar este tipo de límites parte de la definición del número $\textit{\large e}$ y es que podemos notar que si hacemos una simple sustitución en el siguiente límite, podemos notar que éste presenta una indeterminación

$\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = \left( 1 + \frac{1}{\infty}\right)^{\infty} = (1 + 0)^{\infty} = 1^\infty$

Afortunadamente, sabemos que éste límite define justamente al número $\textit{\large e}$ , entonces

$\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = \textit{\Large e}$

Esta fórmula se puede generalizar aún más, pues si consideramos una función $f(x)$ que tiende a infinito cuando $x$ tiende a infinito, entonces

$\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)} = \textit{\Large e}$

De esta forma, al toparnos con la indeterminación $1^{\infty}$ puede ser conveniente reescribir la expresión que define la función para obtener el número. Veamos en los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = 1^{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación. Notamos que este límite es levemente diferente al límite que define el número $\textit{\large e}$ , así que tomando en cuenta la propiedad de las potencias $\left(a^b\right)^c = a^{bc}$ entonces podemos reescribir el límite para encontrar la definición del número $\textit{\large e}$ de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{-x}\right)^{-x} \right]^{-1}$

De esta forma, notamos que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número $\textit{\large e}$ , entonces al calcular el límite obtenemos

$\textit{\large e}^{-1} = \frac{1}{\textit{\large e}}$

Por lo tanto, concluimos que $\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = \frac{1}{\textit{\large e}}$

De forma general, si consideramos una función $f(x)$ que tiende a infinito cuando $x$ tiende a infinito, entonces

$\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)} = \frac{1}{\textit{\Large e}}$

Ejemplo 2

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^{2x} = 1^{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación. Podemos reescribir de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x \right]^2$

De esta forma, notamos que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número $\textit{\large e}$ , entonces al calcular el límite obtenemos

$\textit{\large e}^2$

Por lo tanto, concluimos que $\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = \textit{\large e}^2$

Ejemplo 3

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{3}{x}\right)^{x} = 1^{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación. Reescribimos el límite de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{3}{x}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{ \ 1 \ }{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}} \right]^{3}$

De esta forma, notamos que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número $\textit{\large e}$ , entonces al calcular el límite obtenemos

$\left[ \textit{\large e}^{-1} \right]^3 = \frac{1}{\textit{\large e}^3}$

Por lo tanto, concluimos que $\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{3}{x}\right)^{x} = \frac{1}{\textit{\large e}^3}$

Ejemplo 4

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x}\right)^{x} = 1^{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación. Reescribimos el límite de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}\right)^{x} =\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = \textit{\large e}$

De forma general, si consideramos dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ tales que $\frac{f(x)}{g(x)}$ tiende a infinito cuando $x$ tiende a infinito, entonces

$\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{ \ 1 \ }{\frac{f(x)}{g(x)}}\right)^{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{g(x)}{f(x)}\right)^{\frac{f(x)}{g(x)}} = \textit{\Large e}$

Ejemplo 5

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = 1^{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación. Notamos a diferencia del ejemplo anterior, la solución no es tan simple como separar las sumas de fracciones. Así que reescribimos sumando y restando uno en el límite de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 - 1 + \frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{x+1}{x-1} -1 \right)^{x}$

Efectuamos la suma de fracciones para obtener

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{(x+1) - (x-1)}{x-1}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{x}$

Ahora multiplicamos y dividimos en el exponente por los factores $2$ y $x-1$ para luego conservar la expresión de nuestro interés,

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{x \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{x-1}{x-1}} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2} \cdot \frac{2}{x-1} \cdot x}$

Aplicamos entonces las propiedades de la potencia de la siguiente manera y obtenemos

$\lim_{x \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2}} \right]^{\frac{2x}{x-1}}$

Notando que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número $\textit{\large e}$ y considerando que en el exponente el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, entonces al calcular el límite el resultado será

$\textit{\Large e}^{\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x-1}} = \textit{\Large e}^2$

Por lo tanto, concluimos que $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = \textit{\large e}^2$

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Una fórmula general

Este tipo de límites no presentan mayor complicación al calcularlos y aunque esta técnica es bastante amplia, encontraremos ocasiones en las que podemos recurrir a métodos más sofisticados pues la técnica que hemos usado hasta ahora puede resultar engorrosa. Veamos entonces, la siguiente serie de igualdades para determinar una fórmula que nos permita calcular este tipo de límites.

$\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)}$

$= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + f(x) -1 \right)^{g(x)}$

$= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + f(x) -1 \right)^{g(x) \cdot \frac{f(x) -1}{f(x) -1}}$

$= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + f(x) -1 \right)^{\frac{1}{f(x) -1} \cdot g(x) (f(x) -1)}$

$= \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + f(x) -1 \right)^{\frac{1}{f(x) -1}} \right]^{g(x) (f(x) -1)}$

$= \textit{\large e}^{\lim_{x \to \infty} g(x) (f(x) -1)}$

Por lo tanto, tenemos que

$\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} g(x) (f(x) -1)}$

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites.

Ejemplo 6

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} \right)^{5x + 2} = 1^{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación. Entonces, aplicando la fórmula, tenemos que

$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} \right)^{5x + 2} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3}{x^2 - x} - 1 \right) }$

Entonces, basta con determinar el límite $\lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3}{x^2 - x} - 1 \right) = 0 \cdot \infty$ , para esto efectuamos la suma de fracciones para obtener

$\lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3- (x^2 - x)}{x^2 - x} \right) = \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{3+x}{x^2 - x} \right)$

Posteriormente efectuamos el producto entre los numeradores aplicando la propiedad distributiva, y obtenemos

$\lim_{x \to \infty} \frac{15x + 5x^2 + 6 +2x}{x^2 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x}$

Y considerando que el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, es decir, $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x} = 5$ . Por lo tanto, concluimos que

$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} \right)^{5x + 2} = \textit{\huge e}^{5}$

Indeterminación cero por infinito 0*∞

26.02.202007.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones cuyos límites tienden a infinito y a cero, respectivamente cuando $x$ tiende al infinito, entonces el límite del producto de estas dos funciones presenta una indeterminación. La forma en que se determinan este tipo de límites consiste en reescribir la expresión para obtener una indeterminación de la forma $\frac{\infty}{\infty}$ y usar las técnicas usadas para estos casos. Veamos en los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{4x^2 - 7}} \right) 6x = 0 \cdot \infty$ , este presenta una indeterminación. Multiplicamos el producto entre las fracciones y posteriormente aplicamos la técnica que hemos visto anteriormente

$\lim_{x \to \infty} \frac{6x}{\sqrt{4x^2 - 7}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{\sqrt{4x^2 - 7}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6x}{x}}{\sqrt{4\frac{x^2}{x^2} -\frac{7}{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{\sqrt{4 -\frac{7}{x^2}}}$

Y al evaluar el límite obtenemos

$\frac{6}{\sqrt{4-0}} = \frac{6}{\sqrt{4}} = \frac{6}{2} = 3$

Por lo tanto, concluimos que $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{4x^2 - 7}} \right) 6x = 3$

Ejemplo 2

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3}{x^2 - x} - 1 \right) = 0 \cdot \infty$ , este presenta una indeterminación. Efectuamos la suma de fracciones para obtener

$\lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3- (x^2 - x)}{x^2 - x} \right) = \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{3+x}{x^2 - x} \right)$

Posteriormente efectuamos el producto entre los numeradores aplicando la propiedad distributiva, y obtenemos

$\lim_{x \to \infty} \frac{15x + 5x^2 + 6 +2x}{x^2 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x}$

Y considerando que el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, por lo tanto, concluimos que $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x} = 15$

El Número e

25.02.202021.04.2020 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Las grandes constantes matemáticas

Las grandes constantes matemáticas provienen en su mayoría de relaciones geométricas por ejemplo, la constante de Pitágoras $\sqrt{2}$ es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con ambos catetos igual a $1$ , $\pi$ es la proporción de la longitud de arco de una circunferencia entre su diámetro y el número de oro $\Phi$ que define la proporción áurea (dos cantidades están en la proporción áurea si su proporción es igual a la proporción de su suma a la mayor de las dos cantidades).

Sin embargo, otras constantes que no provienen de este tipo de relaciones.

El interés compuesto

Suponga que usted invierte un capital $P$ en un banco que ofrece un plan de plazo fijo con una tasa de interés compuesto del $r \%$ anual. Entonces, Al final del primer año usted habrá acumulado lo que tenía en el año anterior ( $P$ ) más un $r$ por ciento de ese capital ( $\frac{r}{100} \cdot P$ ), es decir,

$P + \frac{r}{100} \cdot P$

Y notando que podemos sacar a $P$ como un factor común, obtenemos

$P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)$

Al final del segundo año usted habrá acumulado lo que tenía en el año anterior ( $P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)$ ) más un $r$ por ciento de ese capital ( $\frac{r}{100} \cdot P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)$ ), es decir,

$P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) + \frac{r}{100} \cdot P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)$

Y notando que podemos sacar a $P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)$ como un factor común, obtenemos

$P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) \left( 1 + \frac{r}{100}\right) = P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^2$

Si continuamos razonando de esta manera, podemos concluir que al final del tercer año usted habrá acumulado $P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^3$ , al final del cuarto año $P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^4$ y así de forma sucesiva, podemos decir que al final del n-ésimo año habrá acumulado

$P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^n$

Un caso particular

Esta fórmula nos provee una forma general de calcular el capital acumulado con una tasa de interés $r$ al cabo de $n$ periodos de tiempo. Consideremos un caso muy particular, en el que tomamos un perolito (moneda oficial de totumat) y los invertimos en un banco que ofrece una tasa de interés del 100% anual. Entonces, al cabo de un año habremos acumulado

$\left( 1 + 1 \right)^1 = 2$

Supongamos ahora que este banco, ofrece una tasa de interés del 50% semestral, de esta forma, al final del año han culminado dos periodos y así, habremos acumulado

$\left( 1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 2,25$

Notamos que al final del año se habrá acumulado un capital mayor por lo que parece atractiva la idea de segmentar el año más cuotas de interés, entonces si consideramos una tasa de interés del 33.333% cuatrimestral, al final del año han culminado tres periodos y así, habremos acumulado

$\left( 1 + \frac{1}{3}\right)^3 = 2,37$

Podemos razonar de esta manera de forma sucesiva, partiendo el año en periodos más pequeños para maximizar nuestro capital acumulado, sin embargo, observemos cuidadosamente lo que ocurre

$\left( 1 + \frac{1}{4}\right)^4 = 2.44$
$\left( 1 + \frac{1}{12}\right)^{12} = 2,61$
$\left( 1 + \frac{1}{52}\right)^{52} = 2,69$
$\left( 1 + \frac{1}{365}\right)^{365} = 2,71$
$\left( 1 + \frac{1}{8760}\right)^{8760} = 2,71$
$\left( 1 + \frac{1}{31536000}\right)^{31536000} = 2,71$

Si bien el capital acumulado aumenta a medida que segmentamos el año, éste tiende a estancarse incluso si estamos acumulando intereses de forma continua en el tiempo. Lo que que han descubierto las matemáticas es que a medida que $n$ tiende a infinito, la expresión $\left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n$ tiende a un número particular que se conoce como la Constante de Euler o Constante de Napier. De forma general, tenemos que

El número $\textit{\Large e}$ tiene gran importancia en las matemáticas ya que este representa el crecimiento natural de las cosas. Además cuenta con propiedades muy ricas en el cálculo diferencial e integral.

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¡Tu guía de matemáticas!

Autor: Anthonny Arias-García

Derivadas

La derivada de una función en un punto

Un ejemplo particular

La derivada de una función en cualquier punto

Tabla de Derivadas Elementales

El trinomio cuadrado perfecto

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Indeterminación uno a la infinito 1^∞

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Una fórmula general

Ejemplo 6

Indeterminación cero por infinito 0*∞

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

El Número e

Las grandes constantes matemáticas

El interés compuesto

Un caso particular

La derivada de una función en un punto

Un ejemplo particular

La derivada de una función en cualquier punto

Tabla de Derivadas Elementales

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Ejemplos

Ejemplo 1

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Ejemplo 1

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Una fórmula general

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