Bosquejo de Polinomios

Si se sabe interpretar de forma correcta la información que se obtiene de las derivadas de una función se puede hacer bosquejo de un polinomio sin necesidad de extenderse mucho en los cálculos, sin embargo, definamos una serie de pasos que facilite el flujo de la información que vamos obteniendo del polinomio para poder apreciar su comportamiento general. Si P(x) un polinomio, entonces

  1. Calculamos los puntos de corte con los ejes y estudiamos su positividad (intervalos en los que es positiva o negativa).
  2. Calculamos los puntos críticos y determinamos su monotonía (intervalos en los que crece o decrece).
  3. Calculamos los puntos de inflexión y determinamos su concavidad (intervalos en los que es convexa o cóncava).
  4. Calculamos las imágenes de los puntos de los puntos críticos y de inflexión.
  5. Esbozar la gráfica.

De esta forma, aunque es un proceso extenso, se observa con claridad el comportamiento de la función en cada intervalo de la recta real estudiando la función, su primera derivada y su segunda derivada. Veamos con algunos ejemplos como hacer estos bosquejos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Haga un bosquejo del polinomio P(x) = x^2 + 5x +6

Primer Paso: Puntos de Corte y Positividad.

Para determinar el punto de corte del polinomio con el Eje Y, calculamos el valor del polinomio cuando x=0, esto es

P(0) = (0)^2 + 5(0) +6 = 6

Para determinar los puntos de corte del polinomio con el Eje X, calculamos el valor de la variable x cuando P(x)=0, esto es,

x^2 + 5x +6 = 0 \Longrightarrow (x+2)(x+3)=0

Entonces, los puntos de corte del polinomio con el Eje X son x=-2 y x=-3. Así, podemos estudiar la positividad del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Está por encima del Eje X en los intervalos (-\infty,-3) y (-2,+\infty).
  • Está por debajo del Eje X en el intervalo (-3,-2).

Segundo Paso: Puntos Críticos y Monotonía.

Para determinar los puntos críticos del polinomio P(x) calculamos su primera derivada y obtenemos P'(x) = 2x+5. Calculamos los valores para los cuales P'(x)=0, esto es,

2x+5 = 0 \Longrightarrow x = -\frac{5}{2}

Entonces, el punto crítico del polinomio es x=-\frac{5}{2}. Así, podemos estudiar la monotonía del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es decreciente en el intervalo (-\infty,-\frac{5}{2}),
  • Es creciente en el intervalo (-\frac{5}{2},+\infty).
  • Alcanza un mínimo local en x=-\frac{5}{2}.

Tercer Paso: Puntos de Inflexión y Concavidad.

Para determinar los puntos de inflexión del polinomio P(x) calculamos su segunda derivada y obtenemos P''(x) = 2. Concluyendo inmediatamente que nunca es igual a cero, entonces no tiene puntos de inflexión. Aunque la conclusión es clara, haremos una tabla de análisis de signo para ilustrar lo que ocurre.

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es convexo en todo su dominio.

Cuarto Paso: Imágenes.

  • P(-\frac{5}{2}) =\left( -\frac{5}{2} \right)^2 + 5 \left( -\frac{5}{2} \right) + 6 = -\frac{1}{4} = -0.25

Quinto Paso: Graficar.

Puntos de Corte.

Puntos Críticos.

Ejemplo 2

Haga un bosquejo del polinomio P(x) = x^3 - 2x^2 -x +2

Primer Paso: Puntos de Corte y Positividad.

Para determinar el punto de corte del polinomio con el Eje Y, calculamos el valor del polinomio cuando x=0, esto es

P(0) = (0)^3 - 2(0)^2 -(0) +2 = 2

Para determinar los puntos de corte del polinomio con el Eje X, calculamos el valor de la variable x cuando P(x)=0, esto es,

x^3 - 2x^2 -x +2 = 0

Considerando que este polinomio es de grado tres, el método que usaremos para calcular sus raíces será el Método de Ruffini. Entonces, consideramos sus coeficientes de la siguiente manera

Entonces, los puntos de corte del polinomio con el Eje X son x=1, x=-1 y x=2. Así, podemos factorizar el polinomio como P(x)=(x-1)(x+1)(x-2) y estudiar su positividad haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Está por encima del Eje X en los intervalos (-1,1) y (2,+\infty)
  • Está por debajo del Eje X en los intervalos (-\infty,-1) y (1,2).

Segundo Paso: Puntos Críticos y Monotonía.

Para determinar los puntos críticos del polinomio P(x) calculamos su primera derivada y obtenemos P'(x) = 3x^2 - 4x -1. Calculamos los valores para los cuales P'(x)=0. Considerando que este polinomio es de segundo grado, el método que usaremos para calcular sus raíces será el Método del Discriminante.

Identificamos los coeficientes del polinomio como a=3, b=-4 y c=-1 y aplicamos la fórmula del discriminante

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}

= \dfrac{4 \pm \sqrt{16+12}}{6}

= \dfrac{4 \pm \sqrt{28}}{6}

= \dfrac{2 \pm \sqrt{7}}{3}

x_1 = \dfrac{2 + \sqrt{7}}{3} \approx 1.54858

x_2 = \dfrac{2 - \sqrt{7}}{3} \approx -0.21525

Entonces, los puntos críticos del polinomio son x=\dfrac{2 + \sqrt{7}}{3} y x=\dfrac{2 - \sqrt{7}}{3}. Así, podemos factorizar la primera derivada del polinomio como P'(x)=3\left( x - \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)\left( x + \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) y estudiar la monotonía del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es creciente en los intervalos \left(-\infty,\frac{2 - \sqrt{7}}{3}\right) y \left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3},+\infty\right).
  • Es decreciente en el intervalo \left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3},\frac{2 + \sqrt{7}}{3}\right).
  • Alcanza un máximo local en x=\frac{2 - \sqrt{7}}{3}.
  • Alcanza un mínimo local en x=\frac{2 + \sqrt{7}}{3}.

Tercer Paso: Puntos de Inflexión y Concavidad.

Para determinar los puntos de inflexión del polinomio P(x) calculamos su segunda derivada y obtenemos P''(x) = 6x-4. Calculamos los valores para los cuales P''(x)=0. Considerando que este polinomio lineal, el método que usaremos para calcular sus raíces será un simple despeje de la siguiente manera

6x-4 = 0 \Longrightarrow 6x = 4 \Longrightarrow x = \frac{4}{6} \Longrightarrow x = \frac{2}{3}

Entonces nuestro posible punto de inflexión es x=\frac{2}{3}, y estudiamos la concavidad del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es cóncavo en el intervalo (-\infty,\frac{2}{3}).
  • Es convexo en el intervalo (\frac{2}{3},+\infty).
  • Alcanza un punto de inflexión en x=\frac{2}{3}.

Cuarto Paso: Imágenes.

  • P\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) = \left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)^2 -\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) +2 \approx -0.63113
  • P\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right) = \left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right)^2 -\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right) +2 \approx 2.11261
  • P\left(\frac{2}{3} \right) = \left(\frac{2}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2}{3} \right)^2 -\left(\frac{2}{3} \right) +2 \approx 0.740741

Quinto Paso: Graficar.

Puntos de Corte.

Puntos Críticos.

Puntos de Inflexión.

Gráfica de las Funciones Elementales

A continuación se presenta una lista de funciones elementales son sus respectivas gráficas y transformaciones: Función Identidad o Afín, Función Cuadrática, Función Cúbica, Función Raíz Cuadrada, Función Raíz Cúbica, Función de Proporcionalidad Inversa (1/x), Función 1/x^2, Función Exponencial, Función Logarítmica, Función Seno, Función Coseno y Función Tangente. Además, al final de esta hay un enlace con un PDF descargable que se puede consultar en digital o imprimir si se desea.

Gráfica de Funciones Algebraicas
Gráfica de Funciones Algebraicas
Gráfica de Funciones Trascendentales y Trigonométricas
Gráfica de Funciones Trascendentales y Trigonométricas

Límites

Al definir las funciones elementales, pudimos hacer un estudio general de ellas en todo su dominio cuando vimos sus gráficas. Haremos ahora un estudio local de éstas, y para esto las estudiaremos en intervalos reducidos. Para entender esta idea, consideremos las función f(x)=x^2, consideremos el intervalo (1,3) que está centrado en x_0=2, notamos que el conjunto de las imágenes en este intervalo quedan encerradas en el intervalo (1,9).

Si consideramos un intervalo contenido en el intervalo (1,3) y centrado en x=2, veremos que las imágenes de este nuevo intervalo estarán también contenidas en el intervalo (1,9). Podemos hacer este mismo procedimiento reiteradas veces encajando intervalos de la siguiente manera:

Entonces, podemos pensar en lo siguiente: Si en el Eje X estamos encerrando a 2, ¿a quién estamos encerrando en el Eje Y? Intuitivamente, podemos pensar que estamos encerrando a 4 pues 2^2 = 4 y efectivamente es así. Haciendo este estudio de la función, podemos formalizarlo como el límite de la función x^2 cuando x tiende a 2 es igual a 4 y se representa así

\lim_{x \to 2} x^2 = 4

De forma general, considerando una función f(x), diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a x_0 es igual a un número L es el estudio del comportamiento de f(x) para valores de x muy cercanos a x_0 (cercanos, no iguales), concluyendo que el conjunto de las imágenes de estos valores de x están muy cercanos a L. Formalmente se representa así

\lim_{x \to x_0} f(x) = L

Se interpreta matemáticamente de la siguiente forma:

Para todo número \epsilon > 0 , existe un número \delta > 0 tal que si
0 < |x-x_0| < \delta entonces |f(x) - L| < \epsilon

También podemos decir que f(x) tiende a L cuando x tiende a x_0. Nuestro propósito será el de determinar los valores a los que tiende la función y esto es tan sencillo como evaluar la función en el punto dado.

Para facilitar el cálculo de límites es importante destacar que al calcular el límite de operaciones entre funciones, podremos separarlas de la siguiente manera: Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites son L y M de forma respectiva cuando x tiende a x_0; y a es un número real, entonces

  • \lim_{x \to x_0} a = a
  • \lim_{x \to x_0} a \cdot f(x) = a \cdot L
  • \lim_{x \to x_0} ( f(x) \pm g(x) ) = L \pm M
  • \lim_{x \to x_0} ( f(x) \cdot g(x) ) = L \cdot M
  • \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M} \text{ si } g(x) \neq, M \neq 0

veamos algunos ejemplos sobre como determinar los límites en algunas funciones elementales para entender con mayor claridad esta idea.

Ejemplo 1

Calcule el límite de la función f(x)=x+3 cuando x tiende a 4.

\lim_{x \to 4} x+3 = 4 + 3 = 7

Esto quiere decir que para los valores de x muy cercanos a 4, las imágenes de la función f(x)=x+3 se acercan a 7. Gráficamente, tenemos que

Ejemplo 2

Calcule el límite de la función f(x)=\sqrt{x+7}-4 cuando x tiende a -3.

\lim_{x \to -3} \sqrt{x+7}-4 = \sqrt{-3+7}-4 = \sqrt{4}-4 = 2-4 =-2

Esto quiere decir que para los valores de x muy cercanos a -3, las imágenes de la función f(x)=\sqrt{x+7}-4 se acercan a -2. Gráficamente, tenemos que

Ejemplo 3

Calcule el límite de la función f(x)=\frac{1}{x-2}+1 cuando x tiende a 5.

\lim_{x \to 5} \frac{1}{x-2}+1 = \frac{1}{5-2}+1 = \frac{1}{3}+1 = \frac{4}{3}

Esto quiere decir que para los valores de x muy cercanos a 5, las imágenes de la función f(x)=\frac{1}{x-2}+1 se acercan a \frac{4}{3}. Gráficamente, tenemos que

Ejemplo 4

También hay funciones cuya gráfica no conocemos pero de las que podemos calcular su límite, usando la misma técnica. Calcule el límite de la función f(x)=\text{\large e}^{x^2 - 1} + x cuando x tiende a 1.

\lim_{x \to 1} \text{\large e}^{x^2 - 1} + x = \text{\large e}^{1^2 - 1} + 1 = \text{\large e}^{1 - 1} + 1 = \text{\large e}^{0} + 1 = 1 +1 = 2

Ejemplo 5

Calcule el límite de la función f(x)= x^2 + 5x + 6 cuando x tiende a -2.

\lim_{x \to -2} x^2 + 5x + 6 = (-2)^2 + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0


Graficar funciones usando Google

Para graficar funciones no es siempre es necesario un software o apps especializadas en matemáticas pues siempre que se disponga de una conexión a internet se pueden generar gráficas de funciones elementales (e incluso funciones no elementales) usando Google de forma muy sencilla, para esto se escribe el siguiente comando “graph for” y seguidamente de la función que se desea graficar en el campo de búsqueda, sin embargo, estas funciones se deben escribir con una sintaxis muy particular.

Función Constante

Para graficar la función constante f(x)=c donde c es un número real, se debe escribir

graph for c

Por supuesto, sustituyendo c por el valor deseado. Si se desea graficar la función f(x)=3, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda

graph for 3

Función Identidad

Para graficar la función identidad f(x)=x, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x

Nota: Usted puede hacer “zoom in” y “zoom out” para ver detalles de la gráfica en los puntos que desee.

Función Cuadrática

Para graficar la función cuadrática se debe usar el circunflejo para denotar qué número está en el exponente, usando el símbolo “^”. Si se desea graficar la función cuadrática f(x)=x^2, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x^2

De esta forma se puede graficar funciones como la cuadrática, la cúbica, y en general cualquier función de la forma f(x)=x^n donde n es un número natural.

Función de Proporcionalidad Inversa

El producto se denota con un asterisco “*” y la división se denota con el slash “/”, entonces si se desea graficar la función de proporcionalidad inversa f(x)=\frac{1}{x}, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for 1/x

Notemos que con esta sintaxis y la aprendida con la función cuadrática, se puede graficar cualquier función de la forma f(x)= \frac{1}{x^n} donde n es un número natural mayor que 1.

Función Raíz Cuadrada

Para graficar la función raíz cuadrada f(x)=\sqrt{x} se debe usar una instrucción especial para denotar la raíz cuadrada de una variable, esta es sqrt y significa “Square Root” que se traduce precisamente del inglés como “Raíz Cuadrada”, este es el estándar para denotar la raíz cuadrada en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función raíz cuadrada, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for sqrt(x)

Función Raíz Cúbica

Recuerde que se puede reescribir la función raíz cuadrada de x como x^{\frac{1}{2}}. Se puede generalizar este hecho para graficar cualquier función que involucre una raíz, por ejemplo, si se desea graficar la función raíz cúbica f(x)= x^{\frac{1}{2}} , se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x^(1/3)

Función Exponencial

Si se desea graficar la función exponencial f(x) = \text{\large e}^x, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for e^x

Función Logarítmica

Para graficar la función logarítmica se debe usar una instrucción especial para denotar el logaritmo de una variable, esta es log, este es el estándar para denotar el logaritmo base 10 en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función logarítmica f(x) = log(x), se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for log(x)

Particularmente nos puede interesar el logaritmo neperiano y para este se usa la instrucción ln, este es el estándar para denotar el logaritmo neperiano en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función logaritmo neperiano f(x) = ln(x), se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for ln(x)

Se pueden graficar más de dos funciones o más al mismo tiempo, separando las mismas con comas. Si queremos comparar las funciones log(x) y ln(x) en mismo gráfgico, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for log(x), ln(x)

Supongamos ahora que queremos graficar las funciones identidad y cuadrática al mismo tiempo, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x, x^2

Notando que las funciones son graficadas con colores distintos para facilitar su distinción.

Una vez conociendo todo lo anterior podemos graficar transformaciones de funciones elementales. Por ejemplo el valor absoluto se denota como abs. Entonces para graficar las siguientes funciones f(x)=(x-2)^2-1, g(x)=1/(-x-2)+1 y h(x)=|ln(x+1)|, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for (x-2)^2-1, 1/(-x-2)+1, abs(ln(x+1))

También se pueden graficar funciones no elementales. Al usar aplicaciones más sofisticadas para hacer gráficos de funciones, la sintaxis usada en el buscador de google es muy parecida, entonces al dominar este tipo de escritura, no se presentará mayor dificultad al usar otra plataforma, aplicación o calculadoras avanzadas en general.

Rectas

¿Qué son las tablas de valores?

Consideremos en el plano cartesiano varios conjuntos de particular interés, por ejemplo, si consideramos todos los puntos (x,y) tales que y=x, es decir, \{ (x,y) : y=x, x \in R \}. Podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de x para determinar cual es su valor de y correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Notemos que no podemos representar todos los puntos de este conjunto de forma exhaustiva, pero si pudiéramos hacerlo, éstos determinan una línea recta con 45 grados de inclinación respecto al Eje X. A esta recta la llamaremos recta identidad.

Trasladar rectas

El conjunto \{ (x,y) : y=x+1, x \in R \}:

El conjunto \{ (x,y) : y=x-1, x \in R \}:

En estos dos últimos conjuntos, notamos que: al sumar 1, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia arriba; al restar 1, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia abajo. En general, si consideramos un conjunto de la forma \{ (x,y) : y=x+a, x \in R \}, entonces consideramos dos casos:

  1. Si a>0, entonces el conjunto representa a la recta identidad trasladada en $a$ unidades hacia arriba.
  2. Si a<0, entonces el conjunto representa a la recta identidad trasladada en $a$ unidades hacia abajo.

Rotar rectas

Si consideramos todos los puntos (x,y) tales que y=2x, es decir, \{ (x,y) : y=2x, x \in R \}, cambiará la situación respecto a los casos anteriores. Hagamos una tabla de valores y posteriormente grafiquemos:

El conjunto \{ (x,y) : y=\frac{1}{2}x, x \in R \}:

En estos dos últimos conjuntos, notamos que: al multiplicar por 2, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia arriba; al multiplicar por \frac{1}{2}, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia abajo. En general, si consideramos un conjunto de la forma \{ (x,y) : y=a\cdot x, x \in R \}, entonces consideramos dos casos:

  • Si a>1, entonces el conjunto representa a la recta identidad rotada en sentido antihorario.
  • Si a<1, entonces el conjunto representa a la recta identidad rotada en sentido horario.

Reflejar rectas

Por último, si consideramos todos los puntos (x,y) tales que y=-x, es decir, \{ (x,y) : y=-x, x \in R \}, este conjunto será el opuesto a la recta identidad. Hagamos una tabla de valores y posteriormente grafiquemos:

Notamos que al multiplicar por -1, hemos reflejado la recta identidad respecto al Eje X, visualmente lo que ocurrió es que lo que estaba arriba pasó a estar debajo y lo que estaba debajo pasó a estar arriba. En general, si $a>0$, un conjunto de la forma \{ (x,y) : y=-a\cdot x, x \in R \}, entonces el conjunto representa a la recta \{ (x,y) : y=a\cdot x, x \in R \} reflejada respecto al Eje X.

La ecuación de la recta

A partir de todos estos conjuntos, podemos definir de forma general un conjunto que engloba todos estos casos. Definimos una recta como el conjunto

\{ (x,y) : y=m\cdot x + b, x \in R \}

Donde m será conocida como la pendiente de la recta y determina la inclinación de la recta, b es conocido como el intercepto de la recta y determina el punto de corte de la recta con el Eje Y.

Usualmente nos referiremos a las rectas por la ecuación que las define para abreviar el conjunto y las denotaremos con la letra l (por la palabra line en inglés). De la forma que hemos definido la recta, diremos que está definida por la ecuación pendiente intercepto y las expresaremos así

l : y=m\cdot x + b

Las rectas constituyen una parte importante de las matemáticas, pues con ellas se pueden definir modelos básico para describir distintos fenómenos y así facilitar su entendimiento. Eventualmente nos toparemos con conjuntos del plano cartesiano un poco más complejos pero de momento, nos detendremos a estudiar las rectas con profundidad.