Ecuaciones en Diferencias Finitas: Estado de equilibrio

Las soluciones de una Ecuación en Diferencias Finitas están definidas por sucesiones, y una vez que hemos aprendido a calcular estas soluciones, resultará de vital interés estudiar el comportamiento las mismas y más aún, nos interesará su comportamiento respecto a un punto muy particular.

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Punto Fijo

Un punto fijo de una función es un punto en el que un elemento del dominio coincide con él mismo en el rango. Formalmente, si consideramos una función real $f : A \longrightarrow B$ , definimos un punto fijo de esta función como un punto $x_0$ perteneciente al dominio de $f$ tal que

$f(x_0) = x_0$

Gráficamente, diremos que un punto fijo de una función es donde esta coincide con la función identidad, es decir, donde coincide con la función $f(x)=x$ .

Ejemplos

Ejemplo 1

La función $f(x)=-x+1$ tiene un punto fijo en $x_0 = \frac{1}{2}$ , pues $f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$ .

Ejemplo 2

La función $f(x)=x^2$ tiene dos puntos fijos: $x_0 = 0$ y $x_1 = 1$ , pues $f(0)=0$ y $f(1)=1$ , respectivamente.

Ejemplo 3

La función $f(x)=\frac{x^3}{8}$ tiene tres puntos fijos: $x_0 = -2$ , $x_1 = 0$ y $x_2 = 2$ , pues $f(-2)=-2$ , $f(0) = 0$ y $f(2)=2$ , respectivamente.

Estado de Equilibrio

Al definir la solución de una Ecuación en Diferencias Finitas, nos interesará estudiar el comportamiento de esta alrededor de un punto en particular. Considerando una ecuación en diferencias finitas definida de la forma $y_{t+1} = f(y_{t})$ , diremos que $P_e$ es un punto de equilibrio de esta ecuación si $P_e$ es un punto fijo de $f$ , esto es,

$f(P_e) = P_e$

Es decir, $P_e$ representa una solución que permanece constante a partir de algún valor de $t$ . Particularmente, si consideremos la condición inicial $y_0=P_e$ , entonces, al estar la ecuación definida de la forma $y_{t+1} = f(y_{t})$ , tenemos que

$y_{1} = f(y_0) = f(P_e) = P_e$

Y procediendo de forma recursiva, podemos concluir que $y_t = P_e$ . Al estado en que una sucesión permanece constante de esta forma se le conoce como Estado de Equilibrio o Estado Estacionario.

Veamos en el siguiente ejemplo, como calcular el punto de equilibrio de una sucesión de la forma $y_{t+1} = py_{t} + q$ .

Ejemplo 3

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente forma:

$y_{t+1} = 2y_{t} + 5$

Podemos calcular el punto de equilibrio tomando en cuenta que si $y_{k} = P_e$ para cualquier valor de $k$ , entonces $y_{t+1} = y_{t} = P_e$ , por lo tanto, se debe cumplir que

$P_e = 2 \cdot P_e+5$

Así, despejando $P_e$ de esta ecuación, determinamos el punto de equilibrio:

$P_e= \frac{5}{1-2} = -5$

De esta forma, si fijamos la condición inicial $y_0 = -5$ , $y_{1} = 2(-5) + 5 = -10 + 5 = -5$ y procediendo así de forma recursiva, podemos concluir que $y_t = -5$ .

Considerando este último ejemplo, de forma general, podemos plantear una fórmula general para la solución de este tipo de ecuaciones, pues al considerar una ecuación de la forma:

$y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q$

Podemos calcular el punto de equilibrio tomando en cuenta que si $y_{k} = P_e$ para cualquier valor de $k$ , entonces $y_{t+1} = y_{t} = P_e$ , por lo tanto, se debe cumplir que

$P_e = p \cdot P_e+q$

Así, despejando $P_e$ de esta ecuación, determinamos el punto de equilibrio aplicando al siguiente fórmula:

$P_e= \dfrac{q}{1-p}$