Indeterminación cero a la infinito 0^∞

Este tipo de indeterminaciones se puede abordar como una particularidad del caso 1^\infty pues considerando el límite que define el número \textit{\large e}, podemos definir un cambio de variable que permita calcular este mismo número de una forma distinta. Si definimos una variable t=\frac{1}{x}, entonces, t tiende a cero cuando x tiende a infinito, así

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to 0} \left( 1 + t\right)^{\frac{1}{t}} = \textit{\Large e}

Ejemplo 1

Y a partir de esta igualdad, se puede deducir la fórmula \lim_{x \to 0} f(x)^{g(x)} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to 0} g(x) (f(x) -1)} Veamos entonces con algunos ejemplos como aplicar esta nueva fórmula para determinar este tipo de límites.

Si consideramos \lim_{x \to 0} \left( 3x \right)^{\frac{1}{x-2}} = 0^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Entonces, aplicando la fórmula, tenemos que

\lim_{x \to 0} \left( 3x \right)^{\frac{1}{x-2}} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x-2} \left(3x - 1 \right)}

Entonces, basta con determinar el límite en el exponente \lim_{x \to 0} \frac{1}{x-2} \left(3x - 1 \right) = \lim_{x \to 0} \frac{3x-1}{x-2} = \frac{0-2}{3(0)-1}=\frac{1}{2}. Por lo tanto, concluimos que

\lim_{x \to 0} \left( 3x \right)^{\frac{1}{x-2}} = \textit{\huge e}^{\frac{1}{2}}

Indeterminación infinito a la cero ∞^0

Este tipo de indeterminaciones se puede abordar como una particularidad del caso 1^{\infty} usando la fórmula \lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} g(x) (f(x) -1)} Veamos entonces con algunos ejemplos como determinar este tipo de límites.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( 4x+9 \right)^{\frac{1}{6x-17}} = \infty^0, este límite presenta una indeterminación. Entonces, aplicando la fórmula, tenemos que

\lim_{x \to \infty} \left( 4x+9 \right)^{\frac{1}{6x-17}} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} \frac{1}{6x-17} \left((4x+9) - 1 \right) }

Entonces, basta con determinar el límite \lim_{x \to \infty} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{6x-17} \left((4x+9) - 1 \right) = 0 \cdot \infty, para esto efectuamos el producto de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} \frac{(4x+9) - 1}{6x-17} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x+8}{6x-17}

Y considerando que el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, es decir, \lim_{x \to \infty} \frac{4x+8}{6x-17} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. Por lo tanto, concluimos que

\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} \right)^{5x + 2} = \textit{\huge e}^{ \frac{2}{3}}

Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( \frac{7x^2 -1}{x - 5} \right)^{\frac{1}{x+2}} = \infty^0, este límite presenta una indeterminación. Entonces, aplicando la fórmula, tenemos que

\lim_{x \to \infty} \left( \frac{7x^2 -1}{x - 5} \right)^{\frac{1}{x+2}} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+2} \left(\frac{7x^2 -1}{x - 5} - 1 \right) }

Entonces, basta con determinar el límite \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+2} \left(\frac{7x^2 -1}{x - 5} - 1 \right) = 0 \cdot \infty, para esto efectuamos la suma de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+2} \left(\frac{7x^2 -1 - (x-5)}{x - 5} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+2} \left(\frac{7x^2 -x +4}{x - 5} \right)

Posteriormente efectuamos el producto entre los numeradores aplicando la propiedad distributiva, y obtenemos

\lim_{x \to \infty} \frac{7x^2 -x +4}{x^2-5x+2x-10} = \lim_{x \to \infty} \frac{7x^2 -x +4}{x^2-3x-10}

Y considerando que el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, es decir, \lim_{x \to \infty} \frac{7x^2 -x +4}{x^2-3x-10} = 7. Por lo tanto, concluimos que

\lim_{x \to \infty} \left( \frac{7x^2 -1}{x - 5} \right)^{\frac{1}{x+2}} = \textit{\huge e}^{7}

Indeterminación uno a la infinito 1^∞

Hasta ahora hemos estudiado el límite de las operaciones básicas entre funciones, sin embargo, si consideramos dos funciones f(x) y g(x) la operación f(x)^{g(x)} cuando x tiende a infinito debe calcularse tomando tomando en cuenta que

\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)} = 1^{\infty} está indeterminado.

La técnica para determinar este tipo de límites parte de la definición del número \textit{\large e} y es que podemos notar que si hacemos una simple sustitución en el siguiente límite, podemos notar que éste presenta una indeterminación

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = \left( 1 + \frac{1}{\infty}\right)^{\infty} = (1 + 0)^{\infty} = 1^\infty

Afortunadamente, sabemos que éste límite define justamente al número \textit{\large e}, entonces

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = \textit{\Large e}

Esta fórmula se puede generalizar aún más, pues si consideramos una función f(x) que tiende a infinito cuando x tiende a infinito, entonces

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)} = \textit{\Large e}

De esta forma, al toparnos con la indeterminación 1^{\infty} puede ser conveniente reescribir la expresión que define la función para obtener el número. Veamos en los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Notamos que este límite es levemente diferente al límite que define el número \textit{\large e}, así que tomando en cuenta la propiedad de las potencias \left(a^b\right)^c = a^{bc} entonces podemos reescribir el límite para encontrar la definición del número \textit{\large e} de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{-x}\right)^{-x} \right]^{-1}

De esta forma, notamos que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número \textit{\large e}, entonces al calcular el límite obtenemos

\textit{\large e}^{-1} = \frac{1}{\textit{\large e}}

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = \frac{1}{\textit{\large e}}


De forma general, si consideramos una función f(x) que tiende a infinito cuando x tiende a infinito, entonces

\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)} = \frac{1}{\textit{\Large e}}


Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^{2x} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Podemos reescribir de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x \right]^2

De esta forma, notamos que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número \textit{\large e}, entonces al calcular el límite obtenemos

\textit{\large e}^2

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = \textit{\large e}^2

Ejemplo 3

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{3}{x}\right)^{x} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Reescribimos el límite de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{3}{x}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{ \ 1 \ }{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}} \right]^{3}

De esta forma, notamos que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número \textit{\large e}, entonces al calcular el límite obtenemos

\left[ \textit{\large e}^{-1} \right]^3 = \frac{1}{\textit{\large e}^3}

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{3}{x}\right)^{x} = \frac{1}{\textit{\large e}^3}

Ejemplo 4

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x}\right)^{x} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Reescribimos el límite de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}\right)^{x} =\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = \textit{\large e}


De forma general, si consideramos dos funciones f(x) y g(x) tales que \frac{f(x)}{g(x)} tiende a infinito cuando x tiende a infinito, entonces

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{ \ 1 \ }{\frac{f(x)}{g(x)}}\right)^{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{g(x)}{f(x)}\right)^{\frac{f(x)}{g(x)}} = \textit{\Large e}


Ejemplo 5

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Notamos a diferencia del ejemplo anterior, la solución no es tan simple como separar las sumas de fracciones. Así que reescribimos sumando y restando uno en el límite de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 - 1 + \frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{x+1}{x-1} -1 \right)^{x}

Efectuamos la suma de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{(x+1) - (x-1)}{x-1}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{x}

Ahora multiplicamos y dividimos en el exponente por los factores 2 y x-1 para luego conservar la expresión de nuestro interés,

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{x \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{x-1}{x-1}} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2} \cdot \frac{2}{x-1} \cdot x}

Aplicamos entonces las propiedades de la potencia de la siguiente manera y obtenemos

\lim_{x \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2}} \right]^{\frac{2x}{x-1}}

Notando que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número \textit{\large e} y considerando que en el exponente el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, entonces al calcular el límite el resultado será

\textit{\Large e}^{\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x-1}} = \textit{\Large e}^2

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = \textit{\large e}^2


Una fórmula general

Este tipo de límites no presentan mayor complicación al calcularlos y aunque esta técnica es bastante amplia, encontraremos ocasiones en las que podemos recurrir a métodos más sofisticados pues la técnica que hemos usado hasta ahora puede resultar engorrosa. Veamos entonces, la siguiente serie de igualdades para determinar una fórmula que nos permita calcular este tipo de límites.

\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)}
= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + f(x) -1 \right)^{g(x)}
= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + f(x) -1 \right)^{g(x) \cdot \frac{f(x) -1}{f(x) -1}}
= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + f(x) -1 \right)^{\frac{1}{f(x) -1} \cdot g(x) (f(x) -1)}
= \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + f(x) -1 \right)^{\frac{1}{f(x) -1}} \right]^{g(x) (f(x) -1)}
= \textit{\large e}^{\lim_{x \to \infty} g(x) (f(x) -1)}

Por lo tanto, tenemos que

\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} g(x) (f(x) -1)}

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites.

Ejemplo 6

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} \right)^{5x + 2} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Entonces, aplicando la fórmula, tenemos que

\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} \right)^{5x + 2} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3}{x^2 - x} - 1 \right) }

Entonces, basta con determinar el límite \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3}{x^2 - x} - 1 \right) = 0 \cdot \infty, para esto efectuamos la suma de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3- (x^2 - x)}{x^2 - x} \right) = \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{3+x}{x^2 - x} \right)

Posteriormente efectuamos el producto entre los numeradores aplicando la propiedad distributiva, y obtenemos

\lim_{x \to \infty} \frac{15x + 5x^2 + 6 +2x}{x^2 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x}

Y considerando que el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, es decir, \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x} = 15. Por lo tanto, concluimos que

\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} \right)^{5x + 2} = \textit{\huge e}^{15}


Indeterminación cero por infinito 0*∞

Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites tienden a infinito y a cero, respectivamente cuando x tiende al infinito, entonces el límite del producto de estas dos funciones presenta una indeterminación. La forma en que se determinan este tipo de límites consiste en reescribir la expresión para obtener una indeterminación de la forma \frac{\infty}{\infty} y usar las técnicas usadas para estos casos. Veamos en los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{4x^2 - 7}} \right) 6x = 0 \cdot \infty, este presenta una indeterminación. Multiplicamos el producto entre las fracciones y posteriormente aplicamos la técnica que hemos visto anteriormente

\lim_{x \to \infty} \frac{6x}{\sqrt{4x^2 - 7}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{\sqrt{4x^2 - 7}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6x}{x}}{\sqrt{4\frac{x^2}{x^2} -\frac{7}{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{\sqrt{4 -\frac{7}{x^2}}}

Y al evaluar el límite obtenemos

\frac{6}{\sqrt{4-0}} = \frac{6}{\sqrt{4}} = \frac{6}{2} = 3

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{4x^2 - 7}} \right) 6x = 3

Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3}{x^2 - x} - 1 \right) = 0 \cdot \infty, este presenta una indeterminación. Efectuamos la suma de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3- (x^2 - x)}{x^2 - x} \right) = \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{3+x}{x^2 - x} \right)

Posteriormente efectuamos el producto entre los numeradores aplicando la propiedad distributiva, y obtenemos

\lim_{x \to \infty} \frac{15x + 5x^2 + 6 +2x}{x^2 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x}

Y considerando que el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x} = 15

El Número e

Las grandes constantes matemáticas

Las grandes constantes matemáticas provienen en su mayoría de relaciones geométricas por ejemplo, la constante de Pitágoras \sqrt{2} es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con ambos catetos igual a 1, \pi es la proporción de la longitud de arco de una circunferencia entre su diámetro y el número de oro \Phi que define la proporción áurea (dos cantidades están en la proporción áurea si su proporción es igual a la proporción de su suma a la mayor de las dos cantidades).

Sin embargo, otras constantes que no provienen de este tipo de relaciones.

El interés compuesto

Suponga que usted invierte un capital P en un banco que ofrece un plan de plazo fijo con una tasa de interés compuesto del r \% anual. Entonces, Al final del primer año usted habrá acumulado lo que tenía en el año anterior (P) más un r por ciento de ese capital (\frac{r}{100} \cdot P), es decir,

P + \frac{r}{100} \cdot P

Y notando que podemos sacar a P como un factor común, obtenemos

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)

Al final del segundo año usted habrá acumulado lo que tenía en el año anterior (P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)) más un r por ciento de ese capital (\frac{r}{100} \cdot P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) ), es decir,

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) + \frac{r}{100} \cdot P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)

Y notando que podemos sacar a P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) como un factor común, obtenemos

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) \left( 1 + \frac{r}{100}\right) = P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^2

Si continuamos razonando de esta manera, podemos concluir que al final del tercer año usted habrá acumulado P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^3, al final del cuarto año P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^4 y así de forma sucesiva, podemos decir que al final del n-ésimo año habrá acumulado

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^n

Un caso particular

Esta fórmula nos provee una forma general de calcular el capital acumulado con una tasa de interés r al cabo de n periodos de tiempo. Consideremos un caso muy particular, en el que tomamos un perolito (moneda oficial de totumat) y los invertimos en un banco que ofrece una tasa de interés del 100% anual. Entonces, al cabo de un año habremos acumulado

\left( 1 + 1 \right)^1 = 2

Supongamos ahora que este banco, ofrece una tasa de interés del 50% semestral, de esta forma, al final del año han culminado dos periodos y así, habremos acumulado

\left( 1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 2,25

Notamos que al final del año se habrá acumulado un capital mayor por lo que parece atractiva la idea de segmentar el año más cuotas de interés, entonces si consideramos una tasa de interés del 33.333% cuatrimestral, al final del año han culminado tres periodos y así, habremos acumulado

\left( 1 + \frac{1}{3}\right)^3 = 2,37

Podemos razonar de esta manera de forma sucesiva, partiendo el año en periodos más pequeños para maximizar nuestro capital acumulado, sin embargo, observemos cuidadosamente lo que ocurre

\left( 1 + \frac{1}{4}\right)^4 = 2.44
\left( 1 + \frac{1}{12}\right)^{12} =  2,61
\left( 1 + \frac{1}{52}\right)^{52} = 2,69
\left( 1 + \frac{1}{365}\right)^{365} = 2,71
\left( 1 + \frac{1}{8760}\right)^{8760} = 2,71
\left( 1 + \frac{1}{31536000}\right)^{31536000} = 2,71

Si bien el capital acumulado aumenta a medida que segmentamos el año, éste tiende a estancarse incluso si estamos acumulando intereses de forma continua en el tiempo. Lo que que han descubierto las matemáticas es que a medida que n tiende a infinito, la expresión \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n tiende a un número particular que se conoce como la Constante de Euler o Constante de Napier. De forma general, tenemos que

El número \textit{\Large e} tiene gran importancia en las matemáticas ya que este representa el crecimiento natural de las cosas. Además cuenta con propiedades muy ricas en el cálculo diferencial e integral.