Tabla de Signos

Inecuaciones de grado mayor grado que dos

Consideremos ahora inecuaciones en las que el mayor exponente involucrado es mayor que 2, es decir, aquellas inecuaciones que se expresan de la siguiente forma:

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 > 0

Donde “>” representa en realidad cualquier desigualdad >, \geq, < ó \leq; a_n, a_{n-1}, ..., a_2,a_1,a_0 son números reales y n>2. Es posible determinar los valores para los cuales se satisface la desigualdad factorizando el polinomio P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 tal como lo hicimos con las ecuaciones cuadráticas, sin embargo, este método puede ser tedioso debido a todos los casos que hay que considerar, es por esto que desarrollaremos un método más sofisticado que nos permitirá estudiar donde el polinomio P(X) es positivo o negativo, a esto le llamaremos estudiar el signo del polinomio.

En los siguientes ejemplos usaremos una tabla de análisis de signos o simplemente tabla de signos (vulgarmente conocida como el método del cementerio o método de las cruces) está basada en el Teorema de Sturm y en ella veremos como se comporta el signo del polinomio P(x) en intervalos muy particulares definidos por sus raíces.

Cuando le llamas “Tabla de Análisis de Signo”

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente inecuación: x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0.

Al considerar esta inecuación, debemos terminar cuales son los valores de x para los cuales el polinomio P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2 es positivo. Para esto calculemos primero sus raíces usando el Método de Ruffini.

Ya que las raíces de este polinomio son x_1=1, x_2=-1 y x_3=-2; entonces podemos factorizarlo como P(x) = (x-1)(x+1)(x+2) y nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos (-\infty,-2), (-2,-1), (-1,1) y (1,+\infty). Para esto ubicamos cada una de las raíces del polinomio, -\infty y +\infty en la recta real de la siguiente manera:

Intervalos

Debajo de cada una de las raíces del polinomio, -\infty y +\infty se trazan rectas verticales; y además se trazan cuatro renglones horizontales. Obteniendo una tabla de la siguiente forma:

Estos renglones se reparten uno para cada factor involucrado (x-1), (x+1), (x+2) y uno para el polinomio P(x). Los ubicamos así:

Ubicamos en la tabla valor de x para el cual se anula el primer factor, es decir, el valor de x para el cual x-1 = 0. Este valor es 1 y concluimos lo siguiente: Para los valores de x menores que 1, tenemos que x-1 es negativo y para los valores de x mayores que 1, tenemos que x-1 es positivo (esto se puede verificar fácilmente hallando la solución de las inecuaciones x-1 < 0 y x-1 > 0). Esto lo expresamos en nuestra tabla con los signos + y – como sigue

Ubicamos en la tabla valor de x para el cual se anula el segundo factor, es decir, el valor de x para el cual x+1 = 0. Este valor es -1 y concluimos lo siguiente: Para los valores de x menores que -1, tenemos que x+1 es negativo y para los valores de x mayores que -1, tenemos que x+1 es positivo (esto se puede verificar fácilmente hallando la solución de las inecuaciones x+1 < 0 y x+1 > 0). Esto lo expresamos en nuestra tabla con los signos + y – como sigue

Ubicamos en la tabla valor de x para el cual se anula el segundo factor, es decir, el valor de x para el cual x+2 = 0. Este valor es -2 y concluimos lo siguiente: Para los valores de x menores que -2, tenemos que x+2 es negativo y para los valores de x mayores que -2 tenemos que x+2 es positivo (esto se puede verificar fácilmente hallando la solución de las inecuaciones x+2 < 0 y x+2 > 0). Esto lo expresamos en nuestra tabla con los signos + y – como sigue

Para cada intervalo (-\infty,-2), (-2,-1), (-1,1) y (1,+\infty) el signo de P(X) vendrá dado por el producto de los factores que lo definen. De esta forma, multiplicamos los signos de los factores de cada columna:

  • En la primera (-) \cdot (-) \cdot (-)=-
  • En la segunda (-) \cdot (-) \cdot (+)=+
  • En la tercera (-) \cdot (+) \cdot (+)=-
  • En la cuarta (+) \cdot (+) \cdot (+)=+

Por lo tanto, nuestra Tabla de Análisis de Signos queda expresada de la siguiente forma:

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0 se satisface para los valores de x que pertenecen a los intervalos (-2,-1) ó (1,+\infty), entonces la solución general de la ecuación es:

(-2,-1) \cup (1,+\infty)

Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente inecuación: -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0.

Al considerar esta inecuación, debemos terminar cuales son los valores de x para los cuales el polinomio P(x) = -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 es negativo o igual a cero. Para esto calculemos sus raíces usando el Método de Ruffini, primero sacamos factor común -2, entonces P(x) = -2(x^3 + 5x^2 - 2x - 24)

Ya que las raíces de este polinomio son x_1=2, x_2=-3 y x_3=-4; entonces podemos factorizarlo como P(x) = -2(x-2)(x+3)(x+4) y nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos (-\infty,-4], [-4,-3], [-3,2] y [2,+\infty]. Tomando todas las consideraciones del ejemplo anterior y además, tomando en cuenta que el factor -2 es un número negativo constante, nuestra tabla de análisis de signo quedará expresada como

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en la inecuación -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0 se satisface para los valores de x que pertenecen a los intervalos [-4,-3] ó [2,+\infty), entonces la solución general de la ecuación es:

[-4,-3] \cup [2,+\infty)


Inecuaciones con Valor Absoluto (2 de 2)

¡Acotemos las soluciones!

Consideremos el segundo caso de las ecuaciones con valor absoluto, es decir, aquellas ecuaciones cuya relación viene establecida por la desigualdad menor que. Si queremos hallar todos los números cuya distancia a 0 es menor que 3 podemos plantear la siguiente inecuación:

|x| < 3

¿Qué números satisfacen esa inecuación? El número 5 no la satisface, pues |5|=5 y 5 no es menor que 3. Sin embargo, si consideramos 2 o 1 entonces estos números si satisfacen la inecuación, ¿podemos decir que cualquier menor que 3 satisface la inecuación? La respuesta es no, pues si consideramos -2, -1 ó 0 entonces estos números también satisfacen la inecuación entonces podemos notar que cualquier número que sea menor que 3 y a su vez mayor que -3 satisface la inecuación.

En general, diremos que al considerar una ecuación de la forma |x| > a, donde a es un número real, la solución viene dada por todos los números menores que a y todos los números mayores que a al mismo tiempo, formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

En general, considerando una inecuación del tipo |ax+b|<c hallaremos los valores que la satisfacen planteando la siguiente equivalencia:

La solución viene dada por cada una de las dos inecuaciones planteadas, analíticamente representaremos la solución como la intersección de los dos conjuntos que representan las soluciones de estas dos inecuaciones.

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de inecuaciones.

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x+2|<2.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+2<2 \Rightarrow x<2-2 \Rightarrow x<0 (1)
y
x+2>-2 \Rightarrow x>-2-2 \Rightarrow x>-4 (2)

Solución (1): La solución de esta primera ecuación viene dada por todos los valores menores que 0, formalmente,

(-\infty,0)

Solución (2): La solución de esta segunda ecuación viene dada por todos los valores mayores que -4, formalmente,

(-4,+\infty)

La solución general viene dada por la intersección de estas dos soluciones, es decir, todos los valores mayores que -4 y todos los valores menores que 0,

Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |3x-3|\leq6.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

3x - 3 \leq 6 \Rightarrow 3x \leq 9 \Rightarrow x \leq 3 (1)
y
3x - 3 \geq -6 \Rightarrow x \geq -3 \Rightarrow x \geq -1 (2)

Solución (1):

(-\infty,3]

Solución (2):

[-1,+\infty)

Solución General:
(-\infty,3] \cap [-1,+\infty) = [-1,3]

Ejemplo 3

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |7x-11| < - 1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, tenemos que sea cual sea el valor de x ese valor absoluto nunca será menor que -1. Básicamente la pregunta es: ¿Cuándo un número positivo es menor que un número negativo? La respuesta es: Nunca. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto vacío: \emptyset .


Si la expresión que está en el lado derecho de la desigualdad tiene una variable, el procedimiento es muy parecido, la diferencia radica en que debemos excluir los valores de x para los cuales la expresión que se encuentra del lado derecho sea menor que cero pues en ese caso, no existe ningún número real cumpla con la desigualdad.

Veamos entonces con algunos ejemplos como abordar este tipo de ecuaciones.

Ejemplos

Ejemplo 4

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |2x-1| < -x+3.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

2x-1 < -x+3 \Rightarrow 2x+x < 3+1 \Rightarrow 3x < 4 \Rightarrow x < \frac{4}{3} (1)
y
2x-1 > -(-x+3) \Rightarrow 2x-1 > x-3 \Rightarrow 2x-x > -3+1 \Rightarrow x > -2 (2)

Solución (1) y (2):
\left( -\infty, \frac{4}{3} \right) \cap (-2, +\infty) = \left( -2 , \frac{4}{3} \right)

Finalmente, debemos excluir los valores de x para los cuales -x+3 < 0. Para esto calculamos los valores de x para los cuales -x+3 \geq 0 y posteriormente intersectamos con las soluciones antes calculadas, es decir,

-x+3 \geq 0 \Rightarrow -x \geq -3 \Rightarrow x \leq 3 \Rightarrow x \in (-\infty,3]

La solución general viene dada por la intersección de estos conjuntos:

\left( -2 , \frac{4}{3} \right) \cap (-\infty,3] = \left( -2 , \frac{4}{3} \right)

Ejemplo 5

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |-3x+2| \leq 4x+1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

-3x+2 \leq 4x+1 \Rightarrow -3x-4x \leq 1-2 \Rightarrow -7x \leq -1 \Rightarrow x \geq \frac{-1}{-7} \Rightarrow x \geq \frac{1}{7} (1)
y
-3x+2 \geq -(4x+1) \Rightarrow -3x+2 \geq -4x-1 \Rightarrow -3x+4x \geq -1-2 \Rightarrow x \geq -3 (2)

Solución (1) y (2):
[ \frac{1}{7} , +\infty ) \cap [ - 3 , +\infty ) = [ \frac{1}{7} , +\infty )

Finalmente, debemos excluir los valores de x para los cuales 4x+1 < 0. Para esto calculamos los valores de x para los cuales 4x+1 \geq 0 y posteriormente intersectamos con las soluciones antes calculadas, es decir,

4x+1 \geq 0 \Rightarrow 4x \geq -1 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{4} \Rightarrow x \in \left[ -\frac{1}{4} , +\infty \right)

La solución general viene dada por la intersección de estos dos conjuntos:

[ \frac{1}{7} , + \infty ) \cap [ -\frac{1}{4} , +\infty ) = [ \frac{1}{7} , + \infty )

Ejemplo 6

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x-2| \leq x+4.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x-2 \leq x+4 \Rightarrow x-x \leq 4+2 \Rightarrow 0 \leq 4 \Rightarrow 0 \leq 4 (1)
y
x-2 \geq -(x+4) \Rightarrow x-2 \geq -x-4 \Rightarrow x+x \geq -4+2 \Rightarrow 2x \geq -2 \Rightarrow x \geq -1 (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \leq 4, esta desigualdad es cierta, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con todo el conjunto los números reales pues cualquier valor de x que la satisface. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\mathbb{R} \cap \left( \frac{3}{2} , +\infty \right) = \mathbb{R}

Finalmente, debemos excluir los valores de x para los cuales x+4 < 0. Para esto calculamos los valores de x para los cuales x+4 \geq 0 y posteriormente intersectamos con las soluciones antes calculadas, es decir,

x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4 \Rightarrow x \in \left( -4 , +\infty \right)

La solución general viene dada por la intersección de estos dos conjuntos:

(-\infty,-1] \cap \left( -\infty , -4 \right) = (-\infty,-1]

Ejemplo 7

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x+3| < x-6.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+3 < x-6 \Rightarrow x-x < -6-3 \Rightarrow 0 < -9 \Rightarrow 0 < -9 (1)
y
x+3 > -(x-6) \Rightarrow x+3 > -x+6 \Rightarrow x+x > 6-3 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > \frac{3}{2} (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 < -9, esta desigualdad es falsa, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con el conjunto vacío \emptyset pues no hay ningún valor de x que la satisfaga. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\emptyset \cap \left( \frac{3}{2} , +\infty \right] = \emptyset

Por lo tanto, no existe ningún número real que cumpla con la desigualdad planteada.


Inecuaciones con Valor Absoluto (1 de 2)

Valores tanto de un lado como del otro.

Hemos notado que al trabajar con inecuaciones, éstas tienen un comportamiento cuando consideramos las desigualdades mayor que (>, \geq) y otro cuando consideramos las desigualdades menor que (<, \leq).

Veamos entonces este primer caso. Si queremos hallar todos los números cuya distancia a 0 es mayor que 7 podemos plantear la siguiente inecuación:

|x| > 7

¿Qué números satisfacen esa inecuación? El número 2 no la satisface, pues |2|=2 y 2 no es mayor que 7. Sin embargo, si consideramos 8, 9, 10 u 11 entonces estos números sí satisfacen la inecuación, en general podemos decir que cualquier número mayor que 5 satisface la inecuación pero, ¿serán esos los únicos números que satisfacen la inecuación? La respuesta es no, pues si consideramos -8, -9, -10, -18 ó -30 entonces estos números también satisfacen la inecuación, en general podemos decir que cualquier número menor que -7 satisface la inecuación. Con esto podemos concluir que cualquier número que sea mayor que 7 o menor que -7 satisface la inecuación.

En general, diremos que al considerar una ecuación de la forma |x| > a, donde a es un número real, la solución viene dada por todos los números mayores que a ó todos los números menores que a, formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

el valor absoluto de x es mayor que a
el valor absoluto de x es mayor que a

De forma aún más general, considerando una inecuación del tipo |ax+b|>c hallaremos los valores que la satisfacen planteando la siguiente equivalencia:

La solución viene dada por la solución de cada una de las dos inecuaciones planteadas, analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que representan las soluciones de estas dos inecuaciones.

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de inecuaciones.

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad |x+3| > 1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+3>1 \Rightarrow x>1-3 \Rightarrow x>-2 (1)
ó
x+3<-1 \Rightarrow x<-1-3 \Rightarrow x<-4 (2)

Solución (1): La solución de esta primera ecuación viene dada por todos los valores mayores que -2, formalmente,

(-2,+\infty)

Solución (2): La solución de esta segunda ecuación viene dada por todos los valores menores que -4, formalmente,

(-\infty,-4)

La solución general viene dada por la unión de estas dos soluciones, es decir, todos los valores menores que -4 junto todos los valores mayores que -2,

(-\infty,-4) \cup (-2,+\infty)

Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad |4x+1| \geq 7.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

4x+1>7 \Rightarrow 4x>6 \Rightarrow x>\frac{3}{2} (1)
ó
4x+1<-7 \Rightarrow 4x<-8 \Rightarrow x<-2 (2)

Solución (1):

\left[ \frac{3}{2},+\infty \right)

Solución (2):

(-\infty,-2]

Solución General:
(-\infty,-2] \cup \left[ \frac{3}{2},+\infty \right)

Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad |-2x+16| > -8.

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, tenemos que sea cual sea el valor de x ese valor absoluto siempre será mayor que -8. Básicamente la pregunta es: ¿Cuándo un número positivo es mayor que un número negativo? La respuesta es: Siempre. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto de todos los números reales:

\mathbb{R} = (-\infty,+\infty).


Si la expresión que está en el lado derecho de la desigualdad tiene una variable, el procedimiento es muy parecido, la diferencia radica en que debemos incluir los valores de x para los cuales la expresión que se encuentra del lado derecho sea menor que cero pues en ese caso, cualquier número real cumple con la desigualdad.

Veamos entonces con algunos ejemplos como abordar este tipo de ecuaciones.

Ejemplos

Ejemplo 4

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |2x-1|> -x+3.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

2x-1>-x+3 \Rightarrow 2x+x>3+1 \Rightarrow 3x>4 \Rightarrow x>\frac{4}{3} (1)
ó
2x-1<-(-x+3) \Rightarrow 2x-1<x-3 \Rightarrow 2x-x<-3+1 \Rightarrow x<-2 (2)

Solución (1) y (2):
\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2)

Finalmente, debemos incluir los valores de x para los cuales -x+3 < 0, es decir,

-x+3 < 0 \Rightarrow -x<-3 \Rightarrow x > 3 \Rightarrow x \in (3,+\infty)

La solución general viene dada por la unión de estos dos conjuntos:

\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2) \cup (3,+\infty) = \left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2)

Ejemplo 5

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |-3x+2| \geq 4x+1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

-3x+2 \geq 4x+1 \Rightarrow -3x-4x \geq 1-2 \Rightarrow -7x \geq -1 \Rightarrow x \leq \frac{-1}{-7} \Rightarrow x \leq \frac{1}{7} (1)
ó
-3x+2 \leq -(4x+1) \Rightarrow -3x+2 \leq -4x-1 \Rightarrow -3x+4x \leq -1-2 \Rightarrow x \leq -3 (2)

Solución (1) y (2):
\left( -\infty , \frac{1}{7} \right] \cup ( -\infty,- 3 ] = \left( -\infty , \frac{1}{7} \right]

Finalmente, debemos incluir los valores de x para los cuales 4x+1 < 0, es decir,

4x+1 < 0 \Rightarrow 4x<-1 \Rightarrow x < -\frac{1}{4} \Rightarrow x \in \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right)

La solución general viene dada por la unión de estos dos conjuntos:

(-\infty,\frac{1}{7}] \cup \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right) = (-\infty,-\frac{1}{7}]

Ejemplo 6

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x-2| \geq x+4.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x-2 \geq x+4 \Rightarrow x-x \geq 4+2 \Rightarrow 0 \geq 4 \Rightarrow 0 \geq 4 (1)
ó
x-2 \leq -(x+4) \Rightarrow x-2 \leq -x-4 \Rightarrow x+x\leq-4+2 \Rightarrow 2x \leq -2 \Rightarrow x \leq -1 (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \geq 4, esta desigualdad es falsa, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con el conjunto vacío \emptyset pues no hay ningún valor de x que la satisfaga. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\emptyset \cup (-\infty,-1] = (-\infty,-1]

Finalmente, debemos incluir los valores de x para los cuales x+4 < 0, es decir,

x+4 < 0 \Rightarrow x<-4 \Rightarrow x \in \left( -\infty , -4 \right)

La solución general viene dada por la unión de estos dos conjuntos:

(-\infty,-1] \cup \left( -\infty , -4 \right) = (-\infty,-1]

Ejemplo 7

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x+3| > x-6.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+3 > x-6 \Rightarrow x-x> -6-3 \Rightarrow 0 > -9 \Rightarrow 0 > -8 (1)
ó
x+3 < -(x-6) \Rightarrow x+3<-x+6 \Rightarrow x+x < 6-3 \Rightarrow 2x < 3 \Rightarrow x < \frac{3}{2} (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \geq -8, esta desigualdad es cierta, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con todo el conjunto los números reales pues cualquier valor de x que la satisface. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\mathbb{R} \cup \left(-\infty,\frac{3}{2} \right) = \mathbb{R}

Notemos que si incluimos los valores de x para los cuales x-6<0, la solución seguirá siendo la misma.


Inecuaciones Cuadráticas (2 de 2)

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?

Caso 2: ax^2+bx+c < 0

Sean p y q dos números reales. Consideremos el producto p \cdot q < 0, entonces fijándonos en la ley de los signos, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir p y q para que se satisfaga la desigualdad son las siguientes:

p > 0 \text{ y } q < 0
ó
p > 0 \text{ y } q < 0

Es decir, p y q deben deben ser siempre uno negativo y otro positivo. Ya que “más por menos es menos” y “menos por más es menos”. Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad “menor o igual” (\leq). Veamos entonces en los siguientes ejemplos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

Ejemplo 1 (x+4) \cdot (x-1) < 0

x+4 > 0 \text{ y } x-1 < 0
ó
x+4 < 0  \text{ y }  x-1 > 0

Posteriormente despejamos la variable x de cada una de estas inecuaciones lineales e identificamos cada línea para presentar la solución de la siguiente manera:

x > -4 \text{ y } x < 1 (1)
ó
x < -4 \text{ y } x > 1 (2)

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen la línea (1) o todos los números que satisfacen la línea (2), analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces como calcular ambas soluciones:

Solución 1:

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que -4 y menores que 1 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (-4,+\infty) y (-\infty,1) así

(-4,+\infty) \cap (-\infty,1) = (-4,1)

Solución 2:

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que -4 y mayores que 1 al mismo tiempo, sin embargo, no existe ningún número que cumpla con esta condición. Entonces al considerar la intersección de los intervalos (-\infty,-4) y (1,+\infty) esta se representará con el conjunto vacío, así, tenemos que

(-\infty,-4) \cap (1,+\infty) = \emptyset

la intersección de los dos conjuntos es vacía

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con (1) o todos los elementos que cumplen con (2), es por esto que consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
(-4,1) \cup \emptyset = (-4,1)

Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado, además, hagamos cada pasa de forma resumida para agilizar el desarrollo del ejemplo.

Ejemplo 2 x^2 + x - \dfrac{3}{4}  \leq 0

Notando que el polinomio no está factorizado, utilizamos el método del discriminante para factorizarlo considerando que sus coeficientes son a = 1, b = 1 y c = -\dfrac{3}{4}:

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \dfrac{ -1 \pm \sqrt{( 1 )^2 - 4 \cdot ( 1 ) \cdot ( -\frac{3}{4} )}}{2 \cdot ( 1 )} =  \dfrac{ 1  \pm  2 }{ 2 }

Así, x_1 = -\dfrac{ 1 }{ 2 } y x_2 = \dfrac{ 3 }{ 2 }, por lo tanto, podemos factorizar la inecuación cuadrática de la forma:

\left( x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \right) \cdot \left( x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \right) \leq 0

\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \geq 0 \text{ y }x - \dfrac{ 3 }{ 2 }  \leq  0
ó
\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 }  \leq  0  \text{ y } x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \geq 0

\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \geq 0 \text{ y }x - \dfrac{ 3 }{ 2 }  \leq  0
ó
\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 }  \leq  0  \text{ y } x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \geq 0

Solución 1:

\left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },+\infty \right) \cap \left( -\infty,\dfrac{ 3 }{ 2 } \right] = \left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },\dfrac{ 3 }{ 2 } \right]

Solución 2:

\left( -\infty, - \frac{ 1 }{ 2 } \right] \cap \left[\frac{ 3 }{ 2 },+\infty \right) = \emptyset

Solución General:
\left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right] \cup \emptyset = \left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right]

Inecuaciones Cuadráticas (1 de 2)

¡Retomemos la Ley de los Signos!

Así como hemos definido las ecuaciones cuadráticas, es posible definir las inecuaciones cuadráticas considerando tres números reales a, b y c, de la siguiente forma

Donde > pudiera ser cualquier desigualdad.

Donde “>” representa en realidad cualquier desigualdad >, \geq, < ó \leq. Tomando en cuenta que al conocer las raíces de un polinomio cuadrático, éste se puede reescribir como el producto de dos factores, plantearemos la solución de las inecuaciones cuadráticas partiendo de la ley de los signos.

Para esto hacemos dos preguntas: ¿Cuándo el producto de dos números es positivo? y, ¿cuándo el producto de dos números es negativo? Para responderlas, debemos plantear dos casos:

Caso 1: ax^2+bx+c > 0

Sean p y q dos números reales. Consideremos el producto p \cdot q > 0, entonces fijándonos en la ley de los signos, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir p y q para que se satisfaga la desigualdad son las siguientes:

p > 0 \text{ y } q > 0
ó
p < 0 \text{ y }  q < 0

Es decir, ambos números p y q deben ser ambos positivos o ambos negativos al mismo tiempo. Ya que “más por más es más” y “menos por menos es más”. Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad “mayor o igual” (\geq). Veamos entonces en los siguientes ejemplos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

Ejemplo 1 (x-2) \cdot (x+3) > 0

Consideremos una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado de la siguiente forma: (x-2) \cdot (x+3) > 0, Entonces, considerando los dos factores (x-2) y (x+3) tenemos que

x-2 > 0 \text{ y } x+3 > 0
ó
x-2 < 0 \text{ y } x+3 < 0

Notamos entonces que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad. Así,

x > 2 \text{ y } x > -3 (1)
ó
x < 2 \text{ y } x < -3 (2)

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen la línea (1) o todos los números que satisfacen la línea (2), analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces como calcular ambas soluciones:

Solución (1): Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que 2 y mayores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (2,+\infty) y (-3,+\infty) así

(2,+\infty) \cap (-3,+\infty) = (2,+\infty)

intersección de los dos intervalos

Solución (2): Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que 2 y menores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (-\infty,2) y (-\infty,-3) así

(-\infty,2) \cap (-\infty,-3) = (-\infty,-3)

intersección de los dos intervalos

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los elementos que cumplen con la solución (2), es por esto que consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
(2,+\infty) \cup (-\infty,-3)

unión de los dos intervalos

Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado, además, hagamos cada pasa de forma resumida para agilizar el desarrollo del ejemplo.

Ejemplo 2 x^2 + 6x + 8  \geq 0

Notando que el polinomio no está factorizado, utilizamos el método del discriminante para factorizarlo considerando que sus coeficientes son a=1, b=6 y c=8:

x  =  \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \dfrac{ -6 \pm \sqrt{( 6 )^2-4 \cdot ( 1 ) \cdot ( 8 )}}{2 \cdot ( 1 )} =  \dfrac{ -6  \pm  2 }{ 2 }

Así, x_1 = -2 y x_2 = -4, por lo tanto, podemos reescribir la inecuación cuadrática de la forma: (x - ( -2 )) \cdot (x - ( -4 )) \geq 0 que a su vez se puede expresar como

(x  +2 ) \cdot (x  +4 ) \geq 0

x+2 \geq 0 \text{ y } x+4 \geq 0 (1)
ó
x+2 \leq 0 \text{ y } x+4 \leq 0 (2)

\Rightarrow  x \geq -2 \text{ y } x \geq -4 (1)
ó
\Rightarrow  x \leq -2 \text{ y } x \leq -4 (2)

Solución (1):

[-2,+\infty) \cap [-4,+\infty) = [-2,+\infty)

Solución (2):

(-\infty,-2] \cap (-\infty,-4] = (-\infty,-4]

Solución General:
[-2,+\infty) \cup (-\infty,-4]

Aunque se pueden considerar más ejemplos, estos son los ejemplos básicos de las situaciones que se pueden presentar al calcular la solución de una inecuación cuadrática. Luego consideraremos el caso 2, donde estudiaremos qué ocurre si el producto de dos números es negativo.