Funciones Algebraicas

Empezaremos estudiando todas las funciones que se pueden expresar de forma general como f(x) = x^q, con q \in \mathbb{Q}. A este tipo de funciones las llamaremos Funciones Algebraicas.

Función Identidad

Definimos la función identidad como una regla que corresponde a cada número real con él mismo, es decir, que identifica a cada número real. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En ocasiones denotaremos esta función con la letra I, de la siguiente forma I(x)=x.

Función Cuadrática

También se conoce como parábola y corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cuadrado. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^2

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = [0,+\infty]

En general, cualquier función de la forma f(x)=x^n con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más lento crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Cúbica

Corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cubo. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^3

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En general, cualquier función de la forma f(x)=x^n con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más lento crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función de proporcionalidad inversa

Esta función también se conoce como hipérbola y corresponde a cada número real con la x-ésima parte de 1, imagine que usted tiene una torta y desea repartirla toda entre x personas, entonces le da a cada persona un pedazo de tamaño \frac{1}{x}. Mientras mayor sea la cantidad de personas, más pequeño es el pedazo que le corresponde a cada una y mientras menor sea la cantidad de personas, más grande es el pedazo que le corresponde a cada una. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x}

Dom(f) = \mathbb{R}-{0}

Rgo(f) = \mathbb{R}-{0}

Notemos que por más grande que sea el valor de x, la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de x la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma f(x)=\frac{1}{x^n} con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido decrecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Hay que destacar otra función íntimamente relacionada con la función de proporcionalidad inversa, y es que si elevamos ésta al cuadrado, obtendremos la función \frac{1}{x^2}, es muy parecida a la función \frac{1}{x}, salvo que esta es positiva cuando los valores de x son negativos y además. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x^2}

Dom(f) = \mathbb{R}-{0}

Rgo(f) = (0,\infty)

Notemos que por más grande que sea el valor de x, la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de x la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma f(x)=\frac{1}{x^n} con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido decrecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Raíz Cuadrada

La raíz cuadrada de un número x se define como un número que multiplicado por él mismo es igual a x y se denota por \sqrt{x}. Notemos que no tiene sentido definir la raíz cuadrada de un número negativo pues no existe un número que multiplicado por él mismo sea negativo. Formalmente, definimos esta función como

f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}

Dom(f) = [0,+\infty)

Rgo(f) = [0,+\infty)

En general, cualquier función de la forma f(x)=\sqrt[n]{x} con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más lento crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Raíz Cúbica

La raíz cúbica de un número x se define como un número que multiplicado tres veces por él mismo es igual a x y se denota por \sqrt[3]{x}. Contrario a la raíz cuadrada, en este caso sí tiene sentido definir la raíz cúbica de un número negativo. Formalmente, definimos esta función como

f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En general, cualquier función de la forma f(x)=\sqrt[n]{x} con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más lento crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.


Gráfica de las Funciones Elementales

A continuación se presenta una lista de funciones elementales son sus respectivas gráficas y transformaciones: Función Identidad o Afín, Función Cuadrática, Función Cúbica, Función Raíz Cuadrada, Función Raíz Cúbica, Función de Proporcionalidad Inversa (1/x), Función 1/x^2, Función Exponencial, Función Logarítmica, Función Seno, Función Coseno y Función Tangente. Además, al final de esta hay un enlace con un PDF descargable que se puede consultar en digital o imprimir si se desea.

Gráfica de Funciones Algebraicas
Gráfica de Funciones Algebraicas
Gráfica de Funciones Trascendentales y Trigonométricas
Gráfica de Funciones Trascendentales y Trigonométricas

Funciones por Partes

Esta publicación será corta pero sentará una base conceptual para entender algunos conceptos en el estudio local del comportamiento de algunas funciones pues en ocasiones encontraremos funciones cuyo comportamiento no está definido de una sola forma en todo su dominio, para esto debemos partir el dominio y definir las expresiones que describen su comportamiento en cada parte de su dominio.

Formalmente llamaremos a este tipo de funciones como Funciones Por Partes o Funciones Definidas a Trozos. Veamos algunos ejemplos para aclarar esta idea.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

En el ejemplo anterior la imágenes de ambas expresiones coincidieron en el punto donde se partió su dominio. En este caso las imágenes no coinciden, así que en la gráfica denotamos con un punto sin relleno \circ que la imagen no está incluida en el extremo y denotamos con un punto relleno \bullet que la imagen sí está incluida en el extremo de la siguiente manera:

Ejemplo 3

El dominio de una función también puede partirse en más de dos partes para definir las expresiones que describen su comportamiento.

Graficar funciones usando Google

Para graficar funciones no es siempre es necesario un software o apps especializadas en matemáticas pues siempre que se disponga de una conexión a internet se pueden generar gráficas de funciones elementales (e incluso funciones no elementales) usando Google de forma muy sencilla, para esto se escribe el siguiente comando “graph for” y seguidamente de la función que se desea graficar en el campo de búsqueda, sin embargo, estas funciones se deben escribir con una sintaxis muy particular.

Función Constante

Para graficar la función constante f(x)=c donde c es un número real, se debe escribir

graph for c

Por supuesto, sustituyendo c por el valor deseado. Si se desea graficar la función f(x)=3, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda

graph for 3

Función Identidad

Para graficar la función identidad f(x)=x, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x

Nota: Usted puede hacer “zoom in” y “zoom out” para ver detalles de la gráfica en los puntos que desee.

Función Cuadrática

Para graficar la función cuadrática se debe usar el circunflejo para denotar qué número está en el exponente, usando el símbolo “^”. Si se desea graficar la función cuadrática f(x)=x^2, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x^2

De esta forma se puede graficar funciones como la cuadrática, la cúbica, y en general cualquier función de la forma f(x)=x^n donde n es un número natural.

Función de Proporcionalidad Inversa

El producto se denota con un asterisco “*” y la división se denota con el slash “/”, entonces si se desea graficar la función de proporcionalidad inversa f(x)=\frac{1}{x}, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for 1/x

Notemos que con esta sintaxis y la aprendida con la función cuadrática, se puede graficar cualquier función de la forma f(x)= \frac{1}{x^n} donde n es un número natural mayor que 1.

Función Raíz Cuadrada

Para graficar la función raíz cuadrada f(x)=\sqrt{x} se debe usar una instrucción especial para denotar la raíz cuadrada de una variable, esta es sqrt y significa “Square Root” que se traduce precisamente del inglés como “Raíz Cuadrada”, este es el estándar para denotar la raíz cuadrada en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función raíz cuadrada, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for sqrt(x)

Función Raíz Cúbica

Recuerde que se puede reescribir la función raíz cuadrada de x como x^{\frac{1}{2}}. Se puede generalizar este hecho para graficar cualquier función que involucre una raíz, por ejemplo, si se desea graficar la función raíz cúbica f(x)= x^{\frac{1}{2}} , se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x^(1/3)

Función Exponencial

Si se desea graficar la función exponencial f(x) = \text{\large e}^x, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for e^x

Función Logarítmica

Para graficar la función logarítmica se debe usar una instrucción especial para denotar el logaritmo de una variable, esta es log, este es el estándar para denotar el logaritmo base 10 en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función logarítmica f(x) = log(x), se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for log(x)

Particularmente nos puede interesar el logaritmo neperiano y para este se usa la instrucción ln, este es el estándar para denotar el logaritmo neperiano en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función logaritmo neperiano f(x) = ln(x), se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for ln(x)

Se pueden graficar más de dos funciones o más al mismo tiempo, separando las mismas con comas. Si queremos comparar las funciones log(x) y ln(x) en mismo gráfgico, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for log(x), ln(x)

Supongamos ahora que queremos graficar las funciones identidad y cuadrática al mismo tiempo, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x, x^2

Notando que las funciones son graficadas con colores distintos para facilitar su distinción.

Una vez conociendo todo lo anterior podemos graficar transformaciones de funciones elementales. Por ejemplo el valor absoluto se denota como abs. Entonces para graficar las siguientes funciones f(x)=(x-2)^2-1, g(x)=1/(-x-2)+1 y h(x)=|ln(x+1)|, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for (x-2)^2-1, 1/(-x-2)+1, abs(ln(x+1))

También se pueden graficar funciones no elementales. Al usar aplicaciones más sofisticadas para hacer gráficos de funciones, la sintaxis usada en el buscador de google es muy parecida, entonces al dominar este tipo de escritura, no se presentará mayor dificultad al usar otra plataforma, aplicación o calculadoras avanzadas en general.

Función Inversa

La composición de funciones se puede considerar como una nueva operación entre funciones y ésta tendrá propiedades tal como lo tienen las propiedades de suma, resta, multiplicación y división. Si consideramos f, g y h funciones, veamos cuales son estas propiedades:

Asociativa \Big(f \circ g \Big) \circ h = f \circ \Big(g \circ h \Big)

No-Conmutativa \Big(f \circ g \Big) \neq \Big(g \circ f \Big)

Elemento Neutro \Big(f \circ I \Big) = \Big(I \circ f \Big) = f

Existe una cuarta propiedad y es que así como en la suma hemos podido definir el opuesto aditivo y para la división hemos podido definir el inverso multiplicativo, es posible definir una operación inversa para la composición de funciones.

Definimos la inversa de una función biyectiva f : A \longrightarrow B como una función f^{-1} : B \longrightarrow A tal que al componer f^{-1} con f y f con f^{-1}, el resultado es exactamente la función identidad. Es decir,

\Big(f \circ f^{-1} \Big) (x) = \Big(f^{-1} \circ f \Big) (x) = I(x) = x

Por ejemplo, si f(x)=x+1 y g(x)=x-1 son dos funciones, al calcular \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x)
=  f \Big( g(x) \Big)
=  f \Big( x-1 \Big)
=  (x-1)+1
=  x -1 +1
=  x

Por lo tanto podemos concluir que la función g es la inversa de la función f, en otras palabras, g = f^{-1}.

Considerando la forma en que están definidas algunas funciones, podemos ver que a través de algunas operaciones algebraicas o trascendentales, es posible determinar sus inversas. Particularmente, si f : Dom(f) \longrightarrow Rgo (f) es una función biyectiva. Definimos entonces una lista de funciones inversas de la siguiente forma:

  1. Si f(x) = x entonces f^{-1}(x)=x.
  2. Si f(x) = x^2 entonces f^{-1}(x)=\sqrt{x}.
  3. Si f(x) = x^3 entonces f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}.
  4. De forma general, si
    f(x) = x^n \text{ entonces } f^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}
  5. Si f(x) = \dfrac{1}{x} entonces f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}.
  6. De forma general, si
    f(x) = \dfrac{1}{x^n} \text{ entonces } f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x^n}
  7. Si f(x) = {\rm e}^x entonces f^{-1}(x)=\ln(x).
  8. Si f(x) = sen(x) entonces f^{-1}(x)= arcsen(x).
  9. Si f(x) = cos(x) entonces f^{-1}(x)= arccos(x).
  10. Si f(x) = tan(x) entonces f^{-1}(x)= arctan(x).

Note que si g es la inversa de una función f entonces f es la inversa de la función g, entonces en este caso particular, la composición de funciones es conmutativa. Es posible calcular la función inversa de algunas funciones biyectivas, veamos cual es la técnica para hacer este cálculo con algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Sea f: [0,+\infty) \longrightarrow [0,+\infty) una función definida de la siguiente manera: f(x)=x^2+1. Calcule f^{-1}(x).

Para esto recurrimos a una variable auxiliar y=f(x) para obtener y=x^2+1.

Nuestro objetivo será despejar la variable x de esta ecuación.

y = x^2+1
\Rightarrow y-1 = x^2
\Rightarrow \sqrt{y-1} = \sqrt{x^2}
\Rightarrow \sqrt{y-1} = |x|
\Rightarrow \sqrt{y-1} = x
\Rightarrow x = \sqrt{y-1}

Finalmente definimos f^{-1}(y)=\sqrt{y-1}. Como y es una variable real, podemos sustituirla por x nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado: f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función cuadrática a ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 2

Sea f: (5,+\infty) \longrightarrow (-2,+\infty) una función definida de la siguiente manera: f(x)=\dfrac{1}{x-5}-2. Calcule f^{-1}(x).

y = \frac{1}{x-5}-2
\Rightarrow y+2 = \frac{1}{x-5}
\Rightarrow \frac{1}{y+2} = x-5
\Rightarrow \frac{1}{y+2} + 5 = x
\Rightarrow x = \frac{1}{y+2} + 5
\Rightarrow f^{-1}(y) = \frac{1}{y+2} + 5

Finalmente definimos f^{-1}(y) = \frac{1}{y+2} + 5. Como y es una variable real, podemos sustituirla por x nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado: f^{-1}(x) = \frac{1}{x+2} + 5

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función de proporcionalidad inversa a ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 3

Sea f: (-6,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R} una función definida de la siguiente manera: f(x)=\ln(x+6) - 3. Calcule f^{-1}(x).

y = \ln(x+6) - 3
\Rightarrow y+3 = \ln(x+6)
\Rightarrow \text{\rm \Large e}^{y+3} = {\rm e}^{\ln(x+6)}
\Rightarrow \text{\rm \Large e}^{y+3} = (x+6)
\Rightarrow \text{\rm \Large e}^{y+3} - 6 = x
\Rightarrow x = \text{\rm \Large e}^{y+3} - 6
\Rightarrow f^{-1}(y) = \text{\rm \Large e}^{y+3} - 6

Finalmente definimos f^{-1}(y) = \text{\rm \Large e}^{y+3} - 6. Como y es una variable real, podemos sustituirla por x nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado: f^{-1}(x) = \text{\rm \Large e}^{x+3} - 6

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función logaritmo neperiano a ambos lados de la ecuación.


Queda como tarea para el lector, verificar si en efecto las funciones calculadas son las funciones inversas, es decir, verificar que \big( f \circ f^{-1} \big)(x) = \big( f^{-1} \circ f \big)(x) = x .