Curvas de Indiferencia y TMS

En la economía, la utilidad estudia el nivel de satisfacción de un individuo respecto a la forma en que este clasifica distintas situaciones, sin embargo, este tipo de funciones no se pueden cuantificar de forma rigurosa pues la satisfacción es algo muy subjetivo ya que la utilidad de una persona no sólo depende de los bienes materiales que consume, sino también de sus actitudes psicológicas, de las presiones de su grupo social, de sus experiencias personales y del entorno cultural en general según Walter Nicholson en su libro de Teoría Microeconómica, Principios básicos y ampliaciones, es por esto que se restringe el estudio de este tipo de funciones a variables que se puedan medir como las cantidades relativas de alimento, horas de trabajo semanales o tasas fiscales, las variables que no podemos medir se suponen como constantes, esto se le llama en los libros de texto económicos ceteris paribus.

Consideremos el caso particular en que una vez presentados n bienes distintos, un individuo debe escoger cantidades x_1, x_2, \ldots, x_n de dichos bienes. Entonces, representaremos la forma en que este individuo clasifica estos bienes definiendo una función de utilidad de la siguiente forma:

U(x_1, x_2, \ldots, x_n)

Cuando sólo se toman en consideración dos bienes, entonces la función de utilidad se expresa sólo para la cantidad de estos dos bienes x y y:

U(x,y)

La curva de nivel U(x,y) = U_0 representa todas las combinaciones de x y y que proveen al individuo un nivel de satisfacción igual a U_0. Esta curva de nivel se llama curva de indiferencia pues al ellas representar todas las combinaciones de las canastas del mercado que proveen al individuo el mismo nivel de satisfacción, este se mostrará indiferente entre una canasta y otra. De forma general, si la función U(x,y) es una función de Cobb-Douglas, su gráfica estará representada de la siguiente forma:

La curva de indiferencia además de mostrar las combinaciones de los bienes x y y, nos permiten observar que en que medida un individuo está dispuesto a intercambiar los bienes para obtener el mismo nivel de satisfacción. De forma que si tiene las cantidades x_0 y y_0 de un bien, la cantidad de unidades de y que intercambia para obtener una unidad de x está definida como la tasa marginal de sustitución (TMS) y está determinada por la pendiente negativa de la curva U_0 en el punto (x_0,y_0), es decir,

TMS = -\frac{dy}{dx}

Calculada a partir de la función implícita U(x,y)=U_0.

Es posible determinar la tasa marginal de sustitución calculando derivadas parciales pues si tomamos en cuenta que el diferencial de la función de utilidad está dada por dU = \frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial U}{\partial y} dy, entonces el diferencial de la curva de nivel U_0 será

\frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial U}{\partial y} dy = 0 \ \Longrightarrow \ \frac{\partial U}{\partial y} dy = -\frac{\partial U}{\partial x} dx

A partir de esta igualdad, podemos obtener la derivada \frac{dy}{dx} haciendo un abuso del lenguaje para despejar los diferenciales de x y y de la siguiente forma

\frac{dy}{dx} = -\frac{\dfrac{\partial U}{\partial x}}{\dfrac{\partial U}{\partial y}} \ \Longrightarrow \ -\frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{\partial U}{\partial x}}{\dfrac{\partial U}{\partial y}} \ \Longrightarrow \ TMS = \frac{\dfrac{\partial U}{\partial x}}{\dfrac{\partial U}{\partial y}}


Curva Isocuanta y TTS

Si una empresa decide fijar su producción en una cantidad P_0, una vez que ha determinado que su función de producción está dada de la forma P(L,K), podemos representar mediante una curva de nivel todas las combinaciones posibles de trabajo y capital que mantendrán la producción fija en P_0. Esta curva de nivel será llamada Curva Isocuanta (igual cantidad) y de forma general, si la función P(L,K) es una función de Cobb-Douglas, su gráfica estará definida de la siguiente forma:

La curva isocuanta además de mostrar las combinaciones de los bienes L y K, nos permiten observar que en que medida se puede intercambiar capital por trabajo manteniendo el mismo nivel de producción. De forma que si se trabajan L_0 horas semanales y se invierten K_0 unidades de capital, la cantidad de unidades de K que se intercambian por unidades de trabajo L está definida como la tasa técnica de sustitución (TTS) y está determinada por la pendiente negativa de la curva P_0 en el punto (L_0,K_0), es decir,

TMS = -\frac{dL}{dK}

Calculada a partir de la función implícita P(L,K)=P_0.

Es posible determinar la tasa marginal de sustitución calculando derivadas parciales pues si tomamos en cuenta que el diferencial de la función de utilidad está dada por dP = \frac{\partial P}{\partial L} dL + \frac{\partial P}{\partial K} dK, entonces el diferencial de la curva de nivel P_0 será

\frac{\partial P}{\partial L} dL + \frac{\partial P}{\partial K} dK = 0 \ \Longrightarrow \ \frac{\partial P}{\partial K} dK = -\frac{\partial P}{\partial L} dL

A partir de esta igualdad, podemos obtener la derivada \frac{dK}{dL} haciendo un abuso del lenguaje para despejar los diferenciales de L y K de la siguiente forma

\frac{dK}{dL} = -\frac{\frac{\partial P}{\partial L}}{\frac{\partial P}{\partial K}} \ \Longrightarrow \ -\frac{dK}{dL} = \frac{\frac{\partial P}{\partial L}}{\frac{\partial P}{\partial K}} \ \Longrightarrow \ TMS = \frac{\frac{\partial P}{\partial L}}{\frac{\partial P}{\partial K}}


Curvas de Nivel

Hemos visto de forma muy superficial uno de los métodos para graficar funciones en varias variables, otro de los métodos para entender el comportamiento gráfico de este tipo de funciones es conocido como las curvas de nivel y se basa en el método que usan los cartógrafos para diseñar mapas de la superficie terrestre (y de otros cuerpos celestes). Este método consiste en dibujar los contornos que unen los puntos del mapa que representan las posiciones del terreno con la misma altitud sobre el nivel del mar, por ejemplo, el contorno de todos los puntos que se encuentran a 100 metros por encima del nivel del mar. Cuando estas curvas están muy juntas, esto indica que las pendientes están muy pronunciadas.

Veamos en la siguiente imagen tomada del mapa del relieve del Monte Everest que provee Google Maps, en las regiones donde las pendientes son menos empinadas es notorio que las curvas de nivel están bastante separadas en comparación con los alrededores de la cima del Monte Everest.

Recordemos que al definir las derivadas parciales, fijamos los valores de las variables x y y para generar curvas en planos paralelos a los planos YZ y XZ respectivamente. De esta forma, podemos representar geométricamente en una función fijando valores para la variable z para generar curvas en planos paralelos al plano XY.

Formalmente, si fijamos la variable z en un valor c, entonces la curva de nivel en c estará expresada de la forma z = f(x,y) = c.

Particularmente podemos cortar la gráfica de la función f(x,y) = x^2 + y^2 con el plano generado en z = 1 e incluso podemos estudiar sus curvas de nivel en distintos valores de z, por ejemplo, los valores enteros z=2,3,4,5,6 \ldots de la siguiente forma

Notando que a medida que crece el valor fijo de z las circunferencias están mas juntas, esto indica que a medida cada vez las pendientes están más pronunciadas y ya hemos comprobado que es así al calcular las derivadas parciales de estas funciones.


Referencias

Sydsaeter, K., & Hammond, P. J. (1998). Matemáticas para el Análisis Económico (1st ed.; A. Otero, ed.). Prentice Hall.

Productos Complementarios y Suplementarios

En ocasiones, dos productos pudieran estar relacionados de modo que los cambios en el precio de uno afecten la demanda del otro, el uso de derivas parciales permite determinar qué tipo de cambios se generan. Para ser más precisos, veamos algunos ejemplos:

Si consideramos la Cocacola y la Pepsi, al ser estos dos productos muy similares, es natural que al no poder adquirir uno, los consumidores opten por adquirir el otro. De forma particular, si sube el precio de uno, los consumidores se verán mas dispuestos a adquirir el otro. A este tipo de productos los llamamos Productos Suplementarios, Competitivos o Sustitutivos.

Por otra parte, si consideramos la cebolla y el tomate, usualmente estos dos productos son usados como ingredientes se encuentran combinados en una gran cantidad de platos de la cocina venezolana, por lo tanto si una persona no se encuentra en disposición de adquirir uno de ellos, no estará tentada a adquirir el otro. De forma particular, si aumenta el precio de uno los consumidores se verán menos dispuestos a comprar el otro. A este tipo de productos los llamaremos Productos Complementarios.

Conociendo las ecuaciones de demanda de dos productos es posible determinar si estos son suplementarios y complementarios haciendo un análisis marginal. Para ser más precisos si q_A(P_A,P_B) y q_B(P_A,P_B) son las ecuaciones de demanda de dos productos A y B, entonces

\text{Si } \dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} > 0 \text{ y } \dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} > 0

Diremos que estos A y B son Productos Suplementarios, pues cuando aumenta el precio de uno, aumenta la demanda del otro.

\text{Si } \dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} < 0 \text{ y } \dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} < 0

Diremos que estos A y B son Productos Complementarios, pues cuando aumenta el precio de uno, disminuye la demanda del otro.

En otro caso, concluiremos que no son ni complementarios ni suplementarios.

Ejemplo

Supongamos que las funciones de demanda para los plátano chips y papa chips vienen dadas por

q_A(P_A,P_B) = \dfrac{50 \cdot \sqrt[3]{P_B}}{\sqrt{P_A}} y q_B(P_A,P_B) = \dfrac{75 \cdot P_A}{\sqrt[3]{P_B^2}}

respectivamente.

Para esto, determinaremos si estos productos son complementarios o suplementarios calculando las funciones marginales de la demanda de uno respecto al precio del otro.

\dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} = \dfrac{50}{\sqrt{P_A}} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot P_B^{-2/3} > 0

\dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} = \dfrac{75}{\sqrt[3]{P_B^2}} > 0

Estas expresiones son positivas, ya que al representar precios, P_A y P_B son valores positivos. Por lo tanto concluimos que estos dos productos son suplementarios ya que cuando aumenta el precio de uno, aumenta la demanda del otro.

Derivadas Parciales Implícitas

No todas las funciones se expresan de forma explícita, esto es, como una variable que depende enteramente de otras. Al considerar más de dos variables, encontramos nuevamente funciones expresadas forma implícita, es decir, como una relación entre tres o más variables que depende una de la otra a través de una igualdad. Por ejemplo, si consideramos la ecuación

x^2+y^2+z^2=1

esta es la función implícita que define una esfera en el espacio centrada en el origen y de radio igual a 1.

Es posible hacer un análisis marginal de este tipo de funciones usando derivadas parciales, sin embargo, al no poder estudiar la función como un todo será necesario estudiar las variables una a una como si éstas fueran variables dependientes y calcular su derivada respecto a una sola variable, esto implica que se debe fijar el resto de las variables. Por ejemplo, si queremos calcular la derivada de la variable z respecto a la variable x, debemos fijar la variable y. Veamos con algunas ejemplos como calcular este tipo de derivadas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea x^2+y^2+z^2=1 una función implícita. Calcule la derivada de la variable y respecto a la variable x, es decir, calcule \frac{\partial y}{\partial x}.

De la misma forma que con la derivación implícita, derivamos a ambos lados de la ecuación, en este caso derivamos respecto a la variable x:

\dfrac{\partial \left( x^2+y^2+z^2 \right) }{\partial x} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial x}

Posteriormente, al derivar una suma podemos separar cada uno de los sumandos para calcular la deriva de cada uno

\dfrac{\partial ( x^2 ) }{\partial x} + \dfrac{\partial ( y^2 ) }{\partial x} + \dfrac{\partial ( z^2 ) }{\partial x} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial x}

Derivamos la función x^2 respecto a x usando la propiedad del exponente tal como la hemos aprendido, sin embargo, al derivar y^2 debemos tomar en cuenta que la variable y se está comportando como una variable dependiente De esta forma, debemos aplicar la regla de la cadena tal como si estuviéramos derivando una función. Por último, z se comporta como una constante así que la derivada de z^2 y de 1 es igual a 0.

2x + 2y \cdot \frac{\partial y}{\partial x} + 0 = 0

Finalmente, despejamos \frac{\partial y}{\partial x} para expresar esta derivada de forma explícita.

\Rightarrow \; 2x + 2y \cdot \frac{\partial y}{\partial x} = 0

\Rightarrow \; 2y \cdot \frac{\partial y}{\partial x} = -2x

\Rightarrow \; \frac{\partial y}{\partial x} = \dfrac{-2x}{2y}

\Rightarrow \; \frac{\partial y}{\partial x} = -\dfrac{x}{y}

Nota: La regla de la cadena indica que si tenemos una función compuesta de la forma f^n, entonces la derivada de esta viene dada por n \cdot f^{n-1} \cdot f'.

Supongamos ahora que queremos calcular la derivada de la variable z respecto a la variable y, es decir, calcule \frac{\partial z}{\partial y}.

x^2+y^2+z^2=1 \; \Rightarrow \; \dfrac{\partial \left( x^2+y^2+z^2 \right) }{\partial y} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial y}

\Rightarrow \; \dfrac{\partial ( x^2 ) }{\partial y} + \dfrac{\partial ( y^2 ) }{\partial y} + \dfrac{\partial ( z^2 ) }{\partial y} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial y}

\Rightarrow \; 0 + 2y + 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0

\Rightarrow \; 2y + 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0

\Rightarrow \; 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = -2y

\Rightarrow \; \frac{\partial z}{\partial y} = \dfrac{-2y}{2z}

\Rightarrow \; \frac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{y}{z}

Para simplificar la escritura de este tipo de ejercicios, podemos usar la notación que planteamos para derivadas parciales usando un subíndice sobre la variable dependiente para indicar cuales la variable respecto a la cual estamos derivando. De esta forma se pueden ilustrar este tipo de ejercicios con mayor claridad, siempre que se tenga claro el papel que juega cada una de las variables.

Ejemplo 2

Sea 7\sqrt[3]{y^2}-5xy^5+4xz^8=8yz una función implícita. Calcule la derivada de la variable x respecto a la variable z, es decir, calcule \frac{\partial x}{\partial z} = x_z.

7\sqrt[3]{y^2}-5xy^5+4xz^8=8yz

\Rightarrow \; \dfrac{\partial \left( 7\sqrt[3]{y^2}-5xy^5+4xz^8 \right) }{\partial z} = \dfrac{\partial ( 8yz ) }{\partial z}

\Rightarrow \; \dfrac{\partial ( 7\sqrt[3]{y^2} ) }{\partial z} - \dfrac{\partial ( 5xy^5 ) }{\partial y} + \dfrac{\partial ( 4xz^8 ) }{\partial y} = \dfrac{\partial ( 8yz ) }{\partial y}

\Rightarrow \; 0 - 5 x_z y^5 + 4 x_z (8z^8) = 8y

\Rightarrow \; - 5 y^5 \cdot x_z + 32 z^8 \cdot x_z = 8y

\Rightarrow \; x_z(- 5 y^5 + 32 z^8) = 8y

\Rightarrow \; x_z = \dfrac{8y}{(- 5 y^5 + 32 z^8) }

Ejemplo 3

Sea \ln(-9xz + 4x^2yz) = 2x^7y^4 una función implícita. Para facilitar la escritura de las derivadas de esta función, podemos identificar el argumento del logaritmo con una variable auxiliar, digamos $a$, para obtener \ln(a) = 2x^7y^4.

Calcule y_z.

\ln( \underbrace{-9xz + 4x^2yz}_\text{a} ) = 2y^4x^7 \; \Rightarrow \; \frac{1}{a} \cdot \big(-9x + 4x^2(y_z \cdot z + y) \big) = 2x^7(4y^3 \cdot y_z)

\Rightarrow \; -9x + 4x^2(z \cdot y_z + y) = 8x^7y^3 \cdot y_z \cdot a

\Rightarrow \; -9x + 4x^2 z \cdot y_z + 4x^2y = 8x^7y^3 a \cdot y_z

\Rightarrow \; 4x^2 z \cdot y_z - 8x^7y^3 a \cdot y_z = 9x - 4x^2y

\Rightarrow \; (4x^2 z - 8x^7y^3 a ) \cdot y_z = 9x - 4x^2y

\Rightarrow \; y_z = \dfrac{9x - 4x^2y}{4x^2 z - 8x^7y^3 a }

Calcule z_x

\ln( \underbrace{-9xz + 4x^2yz}_\text{a} ) = 2x^7y^4 \; \Rightarrow \; \frac{1}{a} \cdot \big(-9(z + x \cdot z_x) + 4y(2xz + x^2 \cdot z_x) \big) = 14x^6y^4

\Rightarrow \; -9z -9 x \cdot z_x + 8xyz + 4x^2y \cdot z_x = 14x^6y^4 a

\Rightarrow \; -9 x \cdot z_x + 4x^2y \cdot z_x = 14x^6y^4 a + 9z - 8xyz

\Rightarrow \; (-9 x + 4x^2y) \cdot z_x = 14x^6y^4 a + 9z - 8xyz

\Rightarrow \; z_x = \dfrac{14x^6y^4 a + 9z - 8xyz}{(-9 x + 4x^2y)}


Finalmente, siempre recordemos que al calcular derivadas de funciones en varias variables tendremos una variable dependiente, una independiente y las demás se fijan. La nota siguiente nos ayudará a recordar:

Note que en el numerador siempre tendremos la variable dependiente y en el denominador la variable independiente.