Ejercicios Propuestos – Derivadas Parciales Implícitas

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Dadas las siguientes funciones definidas en varias variables. Derivando implícitamente, calcule las siguientes derivadas parciales:

\dfrac{\partial x}{\partial z}, \dfrac{\partial x}{\partial y}, \dfrac{\partial y}{\partial x}, \dfrac{\partial y}{\partial z}, \dfrac{\partial z}{\partial x}, \dfrac{\partial z}{\partial y}

  1. x=0
  2. 2x=1
  3. -3z=2
  4. 2x-3y+4z=3

  1. x+y=4
  2. x+z=5
  3. xy+xz+3=6
  4. x^2+ y^2+z^2=49

  1. \frac{7}{x}=8
  2. -\frac{5}{y}=9
  3. \frac{3}{z}=10x
  4. \frac{11}{x+3y-2z}=y

  1. \frac{x}{y}+\frac{x}{z}=-1
  2. 5\frac{x}{y}-3\frac{y}{z}=-2
  3. 6\frac{x+y}{xy}+10\frac{x+z}{xy}=-3
  4. \frac{2x-y}{x+8y}+z=-4

  1. 2\frac{x}{\sqrt{yz}}=-5
  2. -3\frac{\sqrt{xz}}{y}=-6
  3. 10\frac{x+y+2z}{xyz}=-7
  4. \frac{x-y+z}{5x+y-z}=-8
  1. \sqrt{x}yz=-9
  2. 6x\sqrt{yz}=-10
  3. 8\sqrt{x}\sqrt{y}=-xz
  4. \frac{\sqrt{zx}}{\sqrt{y}} + zx^2y^2+20=x+y
  1. x^2+5x^4+y-2y^3+6z^7=2x+y+z
  2. x\sqrt{y}+x^3+y^2-z=3x
  3. \sqrt{z}\sqrt{x}\sqrt{y}=4y
  4. \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + 10z^3 + 5x^2 -y^2-15=5y

  1. \ln(x)=-2x
  2. -3\ln(y)=-3x
  3. \ln(-z)=-4y
  4. \ln(3x-y+z)=-5y

  1. 2\ln(z)\ln(x)\ln(y)=x+y+z
  2. 3\ln(7y)+x^2-z^3=x-y+z
  3. -4\ln(xyz)-y^3=2x+2y
  4. 5\ln(x+y+z)+x^3+y^2+z=2x+3y+4z

  1. {\rm e}^{x}=yz
  2. 2{\rm e}^{y}=-2xz
  3. -6{\rm e}^{z}=3xy
  4. {\rm e}^{x+y+z}=-4xyz

  1. {\rm e}^{2^x2+5x^4+y-2y^3+6z^5}=x^2
  2. {\rm e}^{xz\sqrt{y}+x^3+y^2+z}=6y^3
  3. {\rm e}^{\frac{x-y+z}{x+y-z}}=-z^4
  4. {\rm e}^{\ln(x+y+z)+x^2+y^3+z^4}=4y^2


Ejercicios Propuestos – Derivadas Parciales

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Dadas las siguientes funciones definidas en varias variables.

Calcule las siguientes derivadas parciales:

\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}

Posteriormente, calcule las siguientes derivadas parciales de orden superior:

\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}.

  1. f(x,y)=x
  2. f(x,y)=-2y
  3. f(x,y)=13xy
  4. f(x,y)=5 x^2 y^2

  1. f(x,y)=x+y
  2. f(x,y)=2y-x
  3. f(x,y)=3xy+8\frac{x}{y}+3
  4. f(x,y)=5x^2 - 2y^2+xy

  1. f(x,y)=\frac{1}{x}
  2. f(x,y)=-\frac{3}{y}
  3. f(x,y)=\frac{7}{xy}
  4. f(x,y)=\frac{15}{x+y}

  1. f(x,y)=\frac{2y}{x}
  2. f(x,y)=\frac{x}{5y}
  3. f(x,y)=\frac{7x+y}{2xy}
  4. f(x,y)=\frac{x-4y}{x+y}

  1. f(x,y)=\frac{2x}{\sqrt{y}}
  2. f(x,y)=\frac{7\sqrt{x}}{y}
  3. f(x,y)=-\frac{x+5y}{xy}
  4. f(x,y)=\frac{x-y}{9x+y}

  1. f(x,y)=\sqrt{x}y
  2. f(x,y)=-x\sqrt{y}
  3. f(x,y)=4\sqrt{x}\sqrt{y}
  4. f(x,y)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + x^2y^2+20
  1. f(x,y)=x^2+5x^4+y-2y^3+6
  2. f(x,y)=5x\sqrt{y}+2x^3-y^2
  3. f(x,y)=10\sqrt{x}\sqrt{y}
  4. f(x,y)=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + x^2+y^2-15

  1. f(x,y)=\ln(x)
  2. f(x,y)=\ln(5y)
  3. f(x,y)=-\ln(3xy)
  4. f(x,y)=\ln(3x+10y)

  1. f(x,y)=2\ln(x) \ln(y)
  2. f(x,y)=3\ln(y)-x^2
  3. f(x,y)=4\ln(xy)-y^3
  4. f(x,y)=5\ln(x+y)+8x^3+y^2

  1. f(x,y)={\rm e}^{x}
  2. f(x,y)=-{\rm e}^{y}
  3. f(x,y)=19{\rm e}^{xy}
  4. f(x,y)=-12{\rm e}^{x+y}

  1. f(x,y)={\rm e}^{2^x2+5x^4+y-2y^3+6}
  2. f(x,y)={\rm e}^{x\sqrt{y}+x^3+y^2}
  3. f(x,y)={\rm e}^{\frac{x-y}{x+y}}
  4. f(x,y)={\rm e}^{\ln(x+y)+x^3+y^2}


Ejercicios Propuestos – Bosquejo de Polinomios

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Puntos Críticos

Calcule los puntos críticos de las siguientes funciones y verifique si estos son máximos o mínimos locales. Finalmente, indique cuales son los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Recuerde que los puntos críticos de una función, son aquellos donde

f'(x)=0

  1. f(x)=x^2
  2. f(x)=x^3
  3. f(x)=x^4
  4. f(x)=x^5

  1. f(x)=x^2+2
  2. f(x)=x^3+3
  3. f(x)=x^4+4
  4. f(x)=x^5+5

  1. f(x)=x^2+2x
  2. f(x)=x^3+3x
  3. f(x)=x^4+4x
  4. f(x)=x^5+5x

  1. f(x)=x^2 + x - 2
  2. f(x)=x^2 - 8x + 15
  3. f(x)=x^2 + 2x - 8
  4. f(x)=x^2 - 3x - 18

  1. f(x)=\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} - 2x
  2. f(x)=\dfrac{4x^3}{3} - \dfrac{16x^2}{2} + 60x
  3. f(x)=\dfrac{x^3}{3} + x^2 - 8x
  4. f(x)=x^3 + \dfrac{3x^2}{2} - 6x
  1. f(x)=x^4 - 7x^3 + 6x^2 + 5
  2. f(x)=x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 2
  3. f(x)=2x^4 + 2x^3 - 2x^2 + 6
  4. f(x)=x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 1

  1. f(x)=xe^x
  2. f(x)=x^2e^x
  3. f(x)=x^3e^x
  4. f(x)=x^4e^x

  1. f(x)=e^{x^2}
  2. f(x)=e^{x^2-1}
  3. f(x)=e^{x^2-x}
  4. f(x)=e^{x^3-x^2}

  1. f(x)=x \ln(x)
  2. f(x)=x^2 \ln(x)
  3. f(x)=x^3 \ln(x)
  4. f(x)=x^4 \ln(x)

  1. f(x)= \ln(x+3)
  2. f(x)= \ln(x^2-1)
  3. f(x)= \ln(x^3-8)
  4. f(x)= \ln(x^4-16)
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Puntos de Inflexión

Calcule los puntos de inflexión de las siguientes funciones. Finalmente, indique cuales son los intervalos de convexidad (cóncava hacia arriba) y concavidad (cóncava hacia abajo).

Recuerde que los posibles puntos de inflexión de una función, son aquellos donde

f''(x)=0$

  1. f(x)=x^2
  2. f(x)=x^3
  3. f(x)=x^4
  4. f(x)=x^5

  1. f(x)=x^2+2
  2. f(x)=x^3-3
  3. f(x)=x^4+4
  4. f(x)=x^5-5

  1. f(x)=x^2-2x
  2. f(x)=x^3+3x
  3. f(x)=x^4-4x
  4. f(x)=x^5+5x

  1. f(x)=x^2 + x - 2
  2. f(x)=x^2 - 8x + 15
  3. f(x)=x^2 + 2x - 8
  4. f(x)=x^2 - 3x - 18

  1. f(x)=x^3 - 6x^2 + 11x - 6
  2. f(x)=x^3 - 7x + 6
  3. f(x)=x^3 + 3x^2 - 4x - 12
  4. f(x)=x^3 + 4x^2 + x - 6
  1. f(x)=x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12
  2. f(x)=x^4 - 6x^3 + x^2 + 24x - 20
  3. f(x)=x^4 - 7x^3 + 9x^2 + 7x - 10
  4. f(x)=x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 1

  1. f(x)=xe^x
  2. f(x)=x^2e^x
  3. f(x)=x^3e^x
  4. f(x)=x^4e^x

  1. f(x)=e^{x^2}
  2. f(x)=e^{x^2-1}
  3. f(x)=e^{x^2-x}
  4. f(x)=e^{x^3-x^2}

  1. f(x)=x \ln(x)
  2. f(x)=x^2 \ln(x)
  3. f(x)=x^3 \ln(x)
  4. f(x)=x^4 \ln(x)

  1. f(x)= \ln(x+3)
  2. f(x)= \ln(x^2-1)
  3. f(x)= \ln(x^3-8)
  4. f(x)= \ln(x^4-16)
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Bosquejo de Polinomios

Para graficar un polinomio hay que tomar en cuenta varios puntos de interés referentes a la función y sus primeras dos derivadas.

  • Para determinar los puntos de corte con el Eje Y, se debe evaluar la función en cero, es decir, calcular f(0) (Sustituir la variable x por cero).
  • Para calcular los puntos de corte con el Eje X, se deben calcular los puntos para los cuales la función es igual a cero, es decir, calcular los valores de x para los cuales f(x)=0 (Para esto se puede usar el Método del Discriminante si el polinomio es cuadrático o el Método de Ruffini si es de mayor grado).
  • Para determinar los puntos críticos, se deben calcular los puntos para los cuales la derivada de la función es igual a cero, es decir, calcular los valores para los cuales f'(x)=0.
  • Para determinar los puntos de inflexión, se deben calcular los puntos para los cuales la segunda derivada de la función es igual a cero, es decir, calcular los valores para los cuales f''(x)=0.

Una vez calculados estos puntos, tome en cuenta que el comportamiento de la función está definido por el signo de la función y sus primeras dos derivadas. Si consideramos un intervalo (a,b) \subseteq \mathbb{R}.

  • Si f(x)>0 en (a,b) entonces la función está por encima del Eje X.
  • Si f(x)<0 en (a,b) entonces la función está por debajo del Eje Y.
  • Si f'(x)>0 en (a,b) entonces la función es creciente (\nearrow).
  • Si f'(x)<0 en (a,b) entonces la función es decreciente (\searrow).
  • Si f''(x)>0 en (a,b) entonces la función es convexa (\cup).
  • Si f''(x)<0 en (a,b) entonces la función es cóncava (\cap).

En los siguientes ejercicios haga un bosquejo de la gráfica de los siguientes polinomios considerando los siguientes pasos:

  • Calculamos los puntos de corte con los ejes y estudiamos su positividad (intervalos en los que es positiva o negativa).
  • Calculamos los puntos críticos y determinamos su monotonía (intervalos en los que crece o decrece).
  • Calculamos los puntos de inflexión y determinamos su concavidad (intervalos en los que es convexa o cóncava).
  • Calculamos las imágenes de los puntos de los puntos críticos y de inflexión.
  • Esbozar la gráfica.
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  1. f(x)=x^2
  2. f(x)=x^3
  3. f(x)=x^4
  4. f(x)=x^5

  1. f(x) = x^2 + 4x - 5
  2. f(x) = x^2 + 5x + 4
  3. f(x) = x^2 + 8x + 15
  4. f(x) = x^2 - 1

  1. f(x) = - 4x^2 - 4x
  2. f(x) = 4x^2 + 4x
  3. f(x) = 2x^2 - 14x + 24
  4. f(x) = 2x^2 + 4x - 6

  1. f(x) = - 2x^3 - 2x^2 + 12x
  2. f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 20x
  3. f(x) = - 5x^3 + 10x^2 + 75x
  4. f(x) = x^3 + 8x^2 + 16x

  1. f(x) = x^3 - 3x^2 - 16x + 48
  2. f(x) = x^3 - 5x^2 - 4x + 20
  3. f(x) = x^3 + 6x^2 - x - 30
  4. f(x) = x^3 - 4x^2 - 16x + 64
  1. f(x) = 5x^3 + 30x^2 + 15x - 50
  2. f(x) = x^3 - 13x + 12
  3. f(x) = - 2x^3 - 6x^2 + 26x + 30
  4. f(x) = 5x^3 + 30x^2 - 5x - 150

  1. f(x) = x^4 - 25x^2 + 144
  2. f(x) = x^4 - 2x^2 + 1
  3. f(x) = x^4 - 8x^2 + 16
  4. f(x) = x^4 - 8x^2 + 16

  1. f(x) = 10x^4 - 410x^2 + 4000
  2. f(x) = -x^4 + 45x^2 - 324
  3. f(x) = 9x^4 - 261x^2 + 900
  4. f(x) = 7x^4 - 203x^2 + 700

  1. f(x) = x^5 - 41x^3 + 400x
  2. f(x) = x^5 - 20x^3 + 64x
  3. f(x) = x^5 - 32x^3 + 256x
  4. f(x) = x^5 - 26x^3 + 25x

  1. f(x) = - 9x^5 + 1476x^3 - 57600x
  2. f(x) = - 2x^5 + 40x^3 - 128x
  3. f(x) = 2x^5 - 212x^3 + 4050x
  4. f(x) = 8x^5 - 488x^3 + 7200x
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Optimización de funciones en la economía

Para cada una de las siguientes situaciones, responda las siguientes preguntas:

  • ¿Cuáles son valores de q para los cuales la función de ingreso alcanza máximos? ¿Cuáles son esos ingresos máximos?
  • ¿Cuáles son valores de q para los cuales la función de costos alcanza mínimos? ¿Cuáles son esos costos mínimos?
  • ¿Cuáles son valores de q para los cuales la función de utilidad alcanza máximos? ¿Cuáles son esas utilidades máximas?

  1. Sea 74 + \frac{3 \cdot q}{191} , la ecuación de oferta de caramelos en una confitería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{7 \cdot q^2}{22} + 59 .
  2. Sea 40 + \frac{21 \cdot q}{125} , la ecuación de oferta de piñatas en una piñatería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{13 \cdot q^2}{197} + 78 .
  3. Sea 35 + \frac{21 \cdot q}{293} , la ecuación de oferta de carne en una carnicería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{q^2}{831} + 49 .
  4. Sea 50 + \frac{2 \cdot q}{129} , la ecuación de oferta de cachitos de jamón y queso en una panadería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{2 \cdot q^2}{55} + 13 .

  1. Sea 55 + 3 \cdot q , la ecuación de oferta de llaves en una cerrajería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.094q^3 - 0.6 q^2 + 32 .
  2. Sea 685 + 20 \cdot q , la ecuación de oferta de hamburguesas en una hamburguesería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma q^3 - 2 \cdot q^2 - 84 \cdot q + 360 .
  3. Sea 452 + 16 \cdot q , la ecuación de oferta de perros calientes en una perro calentero de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.15q^3 - 0.6 \cdot q^2 + 32 .
  4. Sea 421 + 19 \cdot q , la ecuación de oferta de palmeritas en una panadería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.065q^3 - 3 \cdot q^2 + 20 \cdot q + 600 .

  1. Sea 493 + 0.10 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de marcadores en una papelería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.1q^3 - q^2 + 65 \cdot q + 225 .
  2. Sea 635 + 0.3 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de papas fritas en una restaurante de comida rápida de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.11q^3 - 11 \cdot q^2 - 45 \cdot q + 567 .
  3. Sea 486 + 0.9 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de colchones en una mueblería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.02q^3 - 12 \cdot q^2 + 27 \cdot q + 486 .
  4. Sea 60 + 0.5 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de ropa en una calle de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.35q^3 - q^2 + 21 \cdot q + 45 .

Ejercicios Propuestos – Interpretación Económica de la Derivada

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Análisis Marginal

Para cada una de las siguientes situaciones, halle las funciones de ingreso marginal, costo marginal y utilidad marginal. Evalúe cada una en el valor indicado e interprete los resultados.

1.- Sea p=\frac{12}{100}q+10, la ecuación de oferta de cachitos de jamón y queso en una panadería de la ciudad. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = q+5.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 10 cachitos.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 10 cachitos.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 10 cachitos.

2.- Sea p=\frac{4}{3}q+300, la ecuación de oferta de pan francés en una panadería de la ciudad por unidad. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = 0.33 \cdot q^2 + 20.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 50 unidades de pan francés.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 50 unidades de pan francés.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 50 unidades de pan francés.

3.- Una fábrica de queso crema ha calculado la siguiente ecuación de oferta para cada 100 gramos de su producto: p=\frac{45}{2000}q^2+679. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = 5q+43.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 100 kilos.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 100 kilos.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 100 kilos.

4.- Una fábrica de lavadoras ha calculado la siguiente ecuación de oferta por cada unidad de su producto: p=\frac{78}{560}\sqrt[5]{q^9}+25000. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = \frac{8}{5}q^3+33q-20.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 25 unidades.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 25 unidades.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 25 unidades.
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Elasticidad de Demanda

Para cada una de las siguientes funciones de demanda, halle la función de elasticidad de demanda puntual y calcule la elasticidad de demanda una vez que se fija el precio indicado, indique si la demanda es elástica, inelástica o tiene elasticidad unitaria.

  1. q=-3 \cdot p + 10 , p=8
  2. q=-4 \cdot p + 20, p=13
  3. q=-9 \cdot p + 15 , p=7
  4. q=-10 \cdot p + 35, p=20

  1. q=-0.7 \cdot p + 20 , p=11
  2. q=-0.4 \cdot p + 40, p=23
  3. q=-0.69 \cdot p + 9 , p=1
  4. q=-0.10 \cdot p + 18, p=6

  1. q=-10 \cdot p + 110 , p=63.4
  2. q=-50 \cdot p + 120, p=78.4
  3. q=-60 \cdot p + 125 , p=100.4
  4. q=-73 \cdot p + 357, p=237.67