El Principio del Palomar

Suponga que usted está en una plaza observando las palomas que pululan en ella, la bandada que vive en la zona cuenta con once palomas y usted observa que en su totalidad, hay diez nidos en una hilera, cuando las palomas retornan una a una a sus hogares la primera va al primer nido, la segunda al segundo nido, la tercera al tercer nido, y así sucesivamente, la décima al décimo nido pero… ¿A dónde va la última paloma? Pues inevitablemente, esta tiene que compartir el nido con alguna de las otras palomas.

Principio del Palomar | totumat.com

El Principio de Dirichlet, popularmente conocido como El Principio del Palomar, establece que considerando n cajas, si en ellas se meten n+1 o más objetos, entonces habrá al menos una caja que contiene al menos dos de estos objetos.

Este principio tiene su interpretación al considerar funciones, y es que si A y B son dos conjuntos con cardinales n+1 y n, respectivamente (esto es la cantidad de elementos que ellos contienen). Entonces, cualquier función definida de A en B no es inyectiva.

Consideremos algunos ejemplos prácticos de este principio para entender cómo se aplica.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que usted es un médico que trata casos complejos, si atiende sólo de lunes a viernes, y debe practicar una consulta a 6 pacientes en una semana. Entonces, necesariamente debe atender a dos pacientes en un mismo día de la semana.

Ejemplo 2

Si en una clase de 16 estudiantes, se efectúa una evaluación cuya calificación tiene un rango entre 0 y 10 puntos. Entonces, se puede garantizar que habrán al menos dos estudiantes con la misma calificación.

Ejemplo 3

Si se efectúa una evaluación cuya calificación tiene un rango entre 0 y 20 puntos. ¿Cuál es la cantidad mínima de estudiantes que debe haber para garantizar que al menos dos tengan la misma calificación?

Podemos abordar este problema usando el principio del palomar, pues si consideramos el rango de las calificaciones hay 21 opciones \{0,1,2, \ldots 20 \}. Entonces, básicamente, si contamos con 21 cajas, deberían haber al menos 21+1=22 estudiantes para garantizar que al menos dos tengan la misma calificación.


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Estos ejemplos pudieran resultar sencillos, pero el Principio del Palomar tiene mayor utilidad para asentar afirmaciones sobre números enteros. Un ejemplo de esto es la siguiente afirmación:

Para todo número entero, existe un múltiplo de este número cuyos dígitos son ceros o unos. Es decir, para todo número entero p, existe un número entero q tal que

p \cdot q = x \cdot 10^{k} + x \cdot 10^{k-1} + \ldots + x \cdot 10^2 + x \cdot 10 + x

Donde x es cero o uno.

Demostración:

Para demostrar esta afirmación, definamos el siguiente conjunto:

Conjunto de números cuyos dígitos son sólo nos. | totumat.com

Debemos notar que |A| = p+1 y que cada elemento a_i del conjunto A está definido de la forma

1 \cdot 10^{i} + 1 \cdot 10^{i-1} + \ldots + 1 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 1.

Considerando el algoritmo de la división, debemos notar que cualquier número entero se puede expresar de la forma p \cdot q + r y al ser 0 \leq r < p, podemos asegurar que existen p posibles restos. Entonces, al dividir a_{1} obtendremos un resto r_1, al dividir a_{2} obtendremos un resto r_2, y así sucesivamente, al dividir a_{p+1} obtendremos un resto r_{p+1}.

De esta forma, obtenemos p+1 restos al efectuar cada una de estas divisiones pero ya hemos visto que hay p posibles restos al dividir por p, así, recurriendo al Principio del Palomar, concluimos que al menos dos de estos restos deben ser iguales. Es decir, existen dos elementos de A, digamos a_i < a_j, tal que a_i = p \cdot q_i + r y a_j = p \cdot q_j + r. Entonces, si consideramos la resta del mayor menos el menor, obtenemos que

a_j - a_i = (p \cdot q_j + r) - (p \cdot q_i + r) = p \cdot (q_j - q_i)

De donde concluimos que el número a_j - a_i es un múltiplo de p y además, notamos que esta resta es igual a

1 \cdot 10^{j} + 1 \cdot 10^{j-1} + \ldots + 1 \cdot 10^{i+1} + 0 \cdot 10^{i} + 0 \cdot 10^{i-1} + 0 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10 + 0

Por lo tanto, a_j - a_i es un múltiplo de p que cuyos dígitos son ceros o unos.


Hemos visto que el Principio del Palomar nos ayuda a garantizar cuando hay al menos dos elementos en una caja, por ejemplo, si contamos con 5 sacos e introducimos naranjas en ellos, ¿al menos cuántas naranjas debemos tener para garantizar que habrán al menos dos en un saco? La respuesta es 6.

Pero, ¿al menos cuántas naranjas deben haber para garantizar que habrán al menos tres en un saco? ¿O al menos cuatro? ¿Cinco? Para responder a estas preguntas, veamos que este principio se puede generalizar pero primero debemos definir algunas funciones especiales.

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Funciones de parte entera

La función piso redondea todo número decimal hacia abajo, formalmente, para todo número entero a, definimos la función piso como una función \lfloor \ \ \rfloor : [a,a+1] \to \mathbb{Z} de la forma \lfloor x \rfloor = a y de forma general, \lfloor \ \ \rfloor : \mathbb{R} \to \mathbb{Z} está definida como \lfloor x \rfloor = a si a \leq x < a+1.

La función techo redondea todo número decimal hacia arriba, formalmente, para todo número entero b, definimos la función techo como una función \lceil \ \ \rceil : (b-1,b] \to \mathbb{Z} de la forma \lceil x \rceil = a y de forma general, \lceil \ \ \rceil : \mathbb{R} \to \mathbb{Z} está definida como \lceil x \rceil = b si b -1 < x \leq b.

Funciones de Parte Entera, Función Piso y Función Techo | totumat.com

El Principio del Palomar Generalizado

El Principio del Palomar Generalizado, establece que considerando k cajas, si en ellas se meten n objetos, entonces habrá al menos una caja que contiene al menos \lceil \frac{n}{k} \rceil de estos objetos.

Cuando no sabemos con certeza la cantidad de elementos en un conjunto, este principio nos ayuda principalmente a fijar cotas inferiores. Consideremos algunos ejemplos prácticos de este principio para entender cómo se aplica.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Si contamos con 5 sacos e introducimos naranjas en ellos, ¿al menos cuántas naranjas debemos tener para garantizar que habrán al menos tres en un saco? En términos del principio del palomar, si tenemos n objetos y 5 cajas, ¿cuál es el mínimo valor de n para que \lceil \frac{n}{5} \rceil = 3?

Si \lceil \frac{n}{5} \rceil = 3, esto implica que \frac{n}{5} es un elemento del intervalo (2,3]. Entonces, considerando el extremo inferior de este intervalo, el menor número entero n que estamos buscando es tal que n = 2 \cdot 5 + 1 = 11, y en efecto, veamos el peor de los casos que es cuando distribuimos los objetos uno a uno:

Si consideramos cinco sacos vacíos:

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E introducimos cinco naranjas, cada una en cada saco

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Luego, introducimos cinco naranjas más, cada una en cada saco

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Contamos diez naranjas, pero si consideramos una naranja adicional (la onceava), sea cual sea el saco en donde la metamos, tendremos un saco con tres naranjas en él.

Ejemplo 5

Considerando un mazo de barajas de 52 cartas, es decir, 13 corazones, 13 picas, 13 diamantes y 13 tréboles. ¿Cuántas cartas debe tomar una persona, para garantizar que al menos 3 son de la misma pinta? En términos del principio del palomar, si tenemos n objetos y 4 cajas, ¿cuál es el mínimo valor de n para que \lceil \frac{n}{4} \rceil = 3?

Si \lceil \frac{n}{4} \rceil = 3, esto implica que \frac{n}{4} es un elemento del intervalo (2,3]. Entonces, considerando el extremo inferior de este intervalo, el menor número entero n que estamos buscando es tal que n = 2 \cdot 4 + 1 = 9, y en efecto, veamos el peor de los casos que es cuando:

Tomando las primeras cuatro cuartas, todas son de diferente pinta,

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Tomamos cuatro cartas más, y todas son nuevamente, de diferente pinta,

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Contamos ocho cartas, pero si tomamos una carta adicional (la novena), sea cual sea la carta que tomemos, esta será de alguna de las cuatro pintas.


Nota: Cuando se menciona el peor de los casos, es para evitar considerar aquellos casos en los que se cumple la condición que estamos buscando, pero no necesariamente siendo esta la regla general.

Métodos básicos de conteo

Al estudiar la probabilidad de que ocurra un evento se requiere saber con certeza la cantidad de elementos involucrados en dicho evento, por ejemplo: si lanzamos una moneda, ¿cuántas caras tiene la moneda? Si lanzamos un dado, ¿cuántas caras tiene el dado? Si queremos ganar la lotería nacional, ¿cuántos boletos posibles hay? Si queremos pescar un pez dorado en un riachuelo, ¿cuántos peces dorados hay en el riachuelo? ¿Cuántos peces hay de otros colores?

Contar de cuantas formas pudiera ocurrir un evento es tan sencillo como contar con los dedos como por ejemplo lanzar un dado de 6 caras, sin embargo, hay ocasiones en las que la cantidad es muy grande y los dedos de las manos no alcanzan, así que debemos usar los dedos de los pies (jaja, chiste malo).

Hablando seriamente, podemos encontrar eventos con tantos casos que debemos desarrollar métodos que nos permitan contar con precisión todos los casos posibles, por ejemplo, si en los boletos de la lotería nacional se pueden escoger seis números de treinta, ¿cuántos boletos posibles hay?

Dependiendo del evento que estemos estudiando, el método que se usa para contar los posibles casos puede contarse directamente, pero cuando los problemas son más complejos, es necesario sentar una base para abordarlos, así que veremos a continuación los casos que sientan la base para los métodos básicos de conteo.

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El método del producto

Este método que se basa en multiplicar la cantidad de elementos de un conjunto por la cantidad de elementos del otro conjunto se conoce como el método del producto y formalmente, diremos que si evento se puede desglosar de forma secuencial en dos partes, si hay n_1 elementos para la primera secuencia y n_2 elementos para la segunda secuencia, entonces el evento puede ocurrir de n_1 \cdot n_2 formas posibles.

Veamos como aplicar este método de conteo con algunos ejemplos, que si bien pueden resultar bastante intuitivos, formalizar el método permitirá abordar problemas más complejos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos el producto cartesiano de dos conjuntos, particularmente consideremos el producto cartesiano de los conjuntos A = \{ 1,2,3,4,5,6,7 \} y \{ 1,2,3,4 \}, es decir, \{ (a,b) : a \in A, b \in B \}. Este conjunto alberga todas las posibles parejas de elementos de A con elemento de B, ¿Cuántos elementos tiene este producto cartesiano?

Pudiéramos contar uno a uno todos los elementos, empezando por el (1,1), (2,1), (3,1) y así sucesivamente, sin embargo, podemos también ilustrar estos dos conjuntos en el plano cartesiano para contar con mayor facilidad.

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Observando esta ilustración, no hace falta contar todos los puntos pues observando que estos formar un rectángulo, podemos multiplicar base por altura, para determinar que podemos emparejar los elementos de A con los elementos de B de 7 \cdot 4 = 28 formas posibles. Notemos que de esta forma podemos contar los elementos de cualquier producto cartesiano.

Ejemplo 2

Una vez ilustrado este ejemplo, sentamos la base para estudiar problemas más complejos de conteo. Por ejemplo, supongamos que usted está organizando un evento de caridad y debe identificar el asiento de cada uno de los asistentes, sabiendo que hay cinco filas A, B, C, D, E y 37 puestos por cada fila. ¿Cuántas etiquetas se deben imprimir?

Básicamente, lo que queremos saber es de cuantas formas podemos emparejar los elementos del conjunto \{ A, B, C, D, E \} y los elementos del conjunto \{ 1,2,3, \ldots , 37 \}. Entonces, si el primer conjunto tiene cinco elementos y el segundo tiene treinta y siete, podemos concluir que se deben imprimir 5 \cdot 37 = 185 etiquetas.

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Ejemplo 3

Estableciendo este método, supongamos que una pequeña empresa fabrica adornos imantados para refrigeradores con forma de libélula, mariposa y escarabajo, que posteriormente son pintados de distintos colores: azul, verde, naranja, amarillo y rojo. ¿Cuántos tipos de adornos imantados fabrica esta empresa?

Lo que queremos saber es de cuantas formas podemos emparejar los elementos del conjunto {libélula, mariposa, escarabajo} y los elementos del conjunto {azul, verde, naranja, amarillo, rojo}. Entonces, si el primer conjunto tiene tres elementos y el segundo tiene cinco, podemos concluir que se deben imprimir 3 \cdot 5 = 15 tipos de adornos.

Nota: El método del producto se puede generalizar pues si evento se puede desglosar en una secuencia de k partes, si hay n_1 elementos para la primera secuencia, n_2 elementos para la segunda secuencia y así de forma sucesiva, n_k elementos para la k-ésima secuencia, entonces el evento puede ocurrir de n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k formas posibles.

Ejemplo 4

Un bit es una unidad básica de información sobre un estado lógico con únicamente dos valores, generalmente representados por un cero (0) o un uno (1), aunque pueden pueden también representar positivo (+) y negativo (-), encendido y apagado, verdadero y falso, etc.

La ventaja del uso de los bits como unidades de información, es que se pueden concatenar para generar cadenas de información mucho más complejas como las Direcciones IP (Internet Protocol Address) que son cuatro cadenas de ocho bits usadas para identificar cada dispositivo del mundo conectado a internet. Es por esto que al observar el módem que permite a su computadora conectarse a internet, este enciende y apaga la luz de conexión reiteradas veces.

Dirección IP cadenas de ocho bits método del producto | totumat.com

Entonces, sabiendo lo que es un bit y lo que es una Dirección IP, ¿cuántas Direcciones IP posibles se pueden asignar? Empecemos por determinar cuantas cadenas de 8 bits distintas podemos contar. Básicamente tenemos un evento que se puede desglosar en ocho secuencias y donde cada una tiene dos elementos, entonces, contamos 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2 = 2^8 = 256 cadenas distintas de ocho bits.

Sabiendo que las Direcciones IP tienen cuatro cadenas de ocho bits, entonces, tenemos un evento que se puede desglosar en cuatro secuencias y donde cada una tiene doscientos cincuenta y seis elementos, entonces, contamos 256 \cdot 256 \cdot 256 \cdot 256 = 256^4 = 4 \ 294 \ 697 \ 296 cadenas distintas de ocho bits.


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El método de la suma

Este método que se basa en sumar la cantidad de elementos de un conjunto con la cantidad de elementos del otro conjunto se conoce como el método de la suma y formalmente, diremos que si un evento se puede desglosar en dos partes y que este ocurre sólo en una de las partes, si hay n_1 casos para la primera parte y n_2 casos para la segunda parte, entonces el evento puede ocurrir de n_1 + n_2 formas posibles.

En términos del cardinal de un conjunto finito, esto es, la cantidad de elementos en el conjunto. Considerando dos conjuntos disjuntos, es decir, que no tienen elementos en común, entonces el cardinal de la unión de estos dos conjuntos es la suma de sus cardinales. Formalmente, si A y B son conjuntos tales A \cap B = \varnothing, entonces

|A \cup B| = |A| + |B|

Donde, las barras | \ * \ | denotan el cardinal del conjunto.

Veamos como aplicar este método de conteo con algunos ejemplos, que si bien pueden resultar bastante intuitivos, formalizar el método permitirá abordar problemas más complejos.

Ejemplos

Ejemplo 5

Suponga que usted está presidiendo una reunión de condominio, se cuentan con limitados recursos y sólo puede atenderse uno de dos problemas importantes: restaurar el asfaltado de los estacionamientos o restauración de los depósitos de basura; para el primer problema hay 4 licitaciones y para el segundo problema hay 9 licitaciones. Contar todos los casos posibles es muy sencillo, pues simplemente debemos sumar los casos posibles, entonces contamos 4+9=13 casos posibles.

Nota: Si bien estos métodos presentan soluciones bastante intuitivas, sientan la base para situaciones que requieren la combinación de métodos conteo.

Ejemplo 6

Suponga que usted está organizando un evento de caridad y debe identificar el asiento de cada uno de los asistentes, sabiendo que se deben imprimir etiquetas personalizadas los 2 representantes de cada una de las 7 asociaciones que colaboran con el evento caritativo y además, seis filas A, B, C, D, E, F y 20 puestos por cada fila. ¿Cuántas etiquetas se deben imprimir?

Desglosamos el conteo en dos partes, contando primero las etiquetas personalizadas, que en este caso serían 2 \cdot 7 = 14 etiquetas y por otra parte, lo que queremos saber es de cuantas formas podemos emparejar los elementos del conjunto \{ A,B,C,D,E,F \} y los elementos del conjunto \{ 1,2,3, \ldots , 20 \}. Entonces, si el primer conjunto tiene seis elementos y el segundo veinte, podemos concluir que se deben imprimir 6 \cdot 20 = 120 etiquetas.

Por lo tanto, se deben imprimir un total de 14 + 120 = 134 etiquetas.


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El método de la resta

El método de la resta, también conocido como el Principio de Inclusión-Exclusión, generaliza el método de la suma, y se basa en sumar la cantidad de elementos de un conjunto con la cantidad de elementos del otro conjunto, notando que si estos conjuntos tienen elementos en común estaríamos contando los elementos comunes dos veces, por lo tanto, restamos esa cuenta adicional.

Formalmente, diremos que si un evento se puede desglosar en dos partes y que ambas partes tienen casos comunes, si hay n_1 casos para la primera parte y n_2 casos para la segunda parte, entonces el evento puede ocurrir de n_1 + n_2 formas posibles, menos la cantidad de casos comunes.

En términos del cardinal de un conjunto finito, esto es, la cantidad de elementos en el conjunto. Considerando dos conjuntos con elementos comunes A y B, entonces

|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

Donde, las barras | \ * \ | denotan el cardinal del conjunto.

Ejemplos

Ejemplo 7

Suponga que usted está organizando un evento de caridad y debe identificar el asiento de cada uno de los asistentes, sabiendo que se deben imprimir etiquetas personalizadas para los 2 delegaciones que colaboran con el evento caritativo, la primera delegación cuenta con 10 personas y la segunda con 13, pero se sabe que 4 personas pertenecen a ambas delegaciones. ¿Cuántas etiquetas se deben imprimir?

Para la primera delegación se deberían imprimir 10 etiquetas y para la segunda delegación se deberían imprimir 13 etiquetas. Sin embargo, debemos considerar que 4 personas están en ambas delegaciones, si se imprimen estas 4 etiquetas en el lote de la primera delegación y estas mismas 4 etiquetas en el lote de la segunda de legación, se estarían imprimiendo 4 etiquetas de más. Así, estas se imprimen sólo una vez que para evitar imprimir las mismas etiquetas dos veces.

En conclusión, se deben imprimir 10 + 13 - 4 = 23 - 4 = 19 etiquetas.

Ejemplo 8

Suponga que usted está administrando una red de información de una empresa con un Dominio IP que fija las primeras tres cadenas de bits, y debe determinar cuantas Direcciones IP hay disponibles para los dispositivos del personal administrativo, sabiendo que las direcciones asignadas para estos son las que empiezan 0000 o que terminan en 11.

Contemos la cantidad de direcciones que empiezan en 0000. En vista de que los primeros cuatro bits de estas cadenas están fijos, los restantes cuatro bits varían entre cero y uno, de esta forma, aplicando el método del producto, concluimos que hay 2^4 = 16 direcciones que cumplen con esta condición.

Dirección IP cadenas de ocho bits método de la suma | totumat.com

Contemos la cantidad de direcciones que terminan en 11. En vista de que los dos últimos bits de estas cadenas está fijos, los restantes seis bits varían entre cero y uno, de esta forma, aplicando el método del producto, concluimos que hay 2^6 = 64 direcciones que cumplen con esta condición.

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Debemos tomar en cuenta que estamos contando dos veces las direcciones que empiezan en 0000 y terminan en 11 al mismo tiempo, entonces contemos estas direcciones para restarlas al final. En vista de que los primeros cuatro bits y el último bit de estas cadenas está fijos, los restantes 2 bits varían entre cero y uno, de esta forma, aplicando el método del producto, concluimos que hay 2^2 = 4 direcciones que cumplen con esta condición.

Dirección IP cadenas de ocho bits método de la suma | totumat.com

De esta forma, concluimos que la cantidad de Direcciones IP disponibles para los dispositivos del personal administrativo son 16 + 64 - 4 = 76


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El método de la división

El método de la división permite contar los elementos de un conjunto, ignorando leves diferencias entre un elemento y otro. La idea básicamente consiste en hacer un conteo aplicando los métodos conocidos y posteriormente, combinar aquellos elementos que no presentan mayor diferencia.

Supongamos que al considerar las formas llevar a cabo un evento, este se puede llevar a cabo siguiendo uno de los procedimientos del conjunto A = \{ a_1,a_2, \ldots a_n \}, pero a su vez, este se puede llevar a cabo siguiendo uno los procedimientos del conjunto B = \{ b_1,b_2, \ldots b_m \}. Si para cada procedimiento b_i, existen exactamente d procedimientos de A que coinciden con b_i, entonces el total de formas en las que se puede llevar a cabo el evento es igual a \frac{n}{d}.

En términos del cardinal de un conjunto finito, esto es, la cantidad de elementos en el conjunto. Considerando un conjunto A que es igual a la unión de n conjuntos { A_1, A_2, \ldots, A_n }, donde A_i \cap A_j para i \neq j. Si |A_i| = k entonces

n = \frac{|A|}{k}

Donde, las barras | \ * \ | denotan el cardinal del conjunto.

Otra forma de presentar este método consiste en considerar dos conjuntos finitos A y B, y una función f : A \to B tal que para todo elemento b de B existen exactamente { a_1, a_2, \ldots, a_k } valores de A tales que f(a_i) = b para todo i=1, \ldots k. Entonces,

|B| = \frac{|A|}{k}

Nota: Haciendo la analogía con las funciones inyectivas, también conocidas como funciones 1-1. Decimos que la función es k-1 pues corresponde a k elementos de A con un único elemento de B y viceversa.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que usted está armando un circuito de entrenamiento con únicamente cuatro obstáculos distintos: una valla (V), una ría (R), un muro de 1 metro (M1) y un muro de 2 metros (M2). Considerando que dos circuitos son equivalentes si uno se obtiene rotando el otro, por ejemplo, el circuito V-R-M1-M2 es equivalente al circuito M1-M2-V-R. ¿Cuántos circuitos distintos se pueden crear?

Para fijar el primer obstáculo, podemos considerar cualquier de las cuatro opciones. Para el segundo, ya hemos fijado uno anteriormente, así que debemos considerar sólo las tres opciones restantes. Para el tercero, ya hemos fijado dos anteriormente, así que debemos considerar sólo las dos opciones restantes. Para el cuarto, ya hemos fijado tres, así que consideramos el que queda que es sólo una opción.

Entonces, aplicando el método del producto, podemos contar 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 circuitos distintos. Pero debemos notar que para cada arreglo, hay cuatro circuitos equivalentes, por lo que concluimos que sólo hay \frac{24}{4} = 6 circuitos distintos.

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Diagramas de Árbol

Existen eventos que ocurren de forma secuencial en los que se pueden contar todos los casos posibles con mayor facilidad haciendo una ilustración, como es el caso de los diagramas de árbol en los que se cuentan todos los casos posibles de forma exhaustiva, pues partiendo de un nodo originario (la raíz del diagrama) podemos dibujar aristas (ramas del diagrama) hasta otros nodos, de los cuales se generan otras ramas. De esta forma, se representan todos los casos posibles del evento en cuestión.

Aunque los diagramas de árbol se pueden aprovechar con mayor profundidad desarrollando la Teoría de Grafos, nos limitaremos en esta ocasión con algunos ejemplos básicos para entender la forma en que se usan para los métodos de conteo.

Ejemplos

Ejemplo 10

Considerando cadenas de bits, ¿cuántas cadenas de tres bits diferentes se pueden contar?

Estas cadenas se pueden contar usando el método del producto, pero para efectos didácticos, veamos como se aborda este problema si se usa un diagrama de árbol.

Empezamos contando todas las cadenas que empiezan con 0, para esto dibujamos una rama desde la raíz del diagrama que llega hasta 0.

Diagramas de Árbol | totumat.com

A partir de este nodo, parten dos nodos uno con 0 y otro con 1.

Diagramas de Árbol | totumat.com

A partir de estos nodos, parten a su vez, dos nodos uno con 0 y otro con 1. De esta forma, obtenemos todas las cadenas de bits que empiezan con 0.

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A partir de este nodo, parten dos nodos uno con 0 y otro con 1.

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Hacemos un procedimiento análogo para determinar todas las cadenas de bits que empiezan con 1, para esto dibujamos una rama desde la raíz del diagrama que llega hasta 1.

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A partir de estos nodos, parten a su vez, dos nodos uno con 0 y otro con 1. De esta forma, obtenemos todas las cadenas de bits que empiezan con 0.

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Entonces, la cantidad de cadenas de bits que se pueden formar con tres bits es igual a la cantidad de nodos que al final no tienen ramificaciones adicionales, es decir, 8. Notemos además, que en este diagrama se pueden identificar visualmente todas las cadenas de bits, por ejemplo, la cadena 010 se ve de la siguiente forma:

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Ejemplo 11

Aunque el ejemplo anterior se pudo haber resulto de forma más simple recurriendo al método del producto, consideremos otro ejemplo en que el método del producto no es el mejor método para abordarlo. ¿cuántas cadenas de cuatro bits diferentes no tienen dos ceros consecutivos?

Para esto construimos un diagrama de árbol pero al construir una rama, si un nodo es 0, no se continúa construyendo la rama que dirige hacia otro cero.

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Entonces, la cantidad de cadenas de bits que se pueden formar con cuatro bits que no tengan dos ceros consecutivos es igual a la cantidad de nodos que al final no tienen ramificaciones adicionales, es decir, 8.

Ejemplo 12

En un torneo de “Piedra, Papel o Tijera”, la final se disputa entre dos personas y el ganador será el que gane dos de tres partidas. Los organizadores deben contar todos los casos posibles para determinar el tiempo máximo que durará la final del torneo. ¿Cuántas partidas posibles pueden ocurrir?

Identifiquemos a cada jugador como el jugador Azul (A) y el jugador Rojo (R), entonces, construimos un diagrama de árbol de la siguiente manera:

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Por lo tanto, concluimos que la cantidad de partidas posibles es 6.


Ángulos, Grados y Radianes

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones que existen entre los lados y los ángulos de un triángulo. Los resultados que se generan a partir de estas se pueden generalizar para estudiar otro tipo de figuras geométricas y sus aplicaciones en la vida real tienen un amplio espectro, principalmente en la construcción, el arte y el diseño.

Antes de estudiar las relaciones que se pueden establecer en la trigonometría, es necesario definir algunas figuras geométricas y elementos para formalizar estas relaciones con mayor precisión.

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Circunferencias

Fijando un punto en el plano que llamaremos centro y una distancia que llamaremos radio, definimos una circunferencia como el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia del centro

Circunferencia de radio r | totumat.com

Al estudiar las circunferencias podemos definir elementos que la componen para posteriormente, estudiar las relaciones entre estos elementos.

  • El arco de la circunferencia, son todos los puntos de la circunferencia, usualmente se denota con la letra C.
  • Una cuerda es un segmento de recta cuyos extremos forman parte de la circunferencia.
  • El diámetro es la medida del segmento más grande formado por dos puntos de la circunferencia, usualmente se denota con la letra d.
  • El radio es la medida que hay desde el centro hasta el arco de la circunferencia, usualmente se denota con la letra r.
Partes de una circunferencia: Arco, Cuerda, Diámetro y Radio | totumat.com

La relación más importante que podemos encontrar entre los elementos de una circunferencia es entre la medida o longitud del arco y el diámetro, pues sea cual sea la circunferencia la proporción entre estos dos elementos siempre es la misma. Entonces, el cociente de C entre d se denota con un número especial llamado pi de la siguiente forma

\pi = \frac{C}{d}

Debemos notar además, que el diámetro de una circunferencia es el doble del radio, entonces, podemos establecer una relación entre la longitud de arco de la circunferencia y el radio, sustituyendo d = 2r y despejando C de la ecuación planteada al definir a \pi = \frac{C}{2r} para obtener que

C = 2 \pi \cdot r

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Ángulos

Si consideramos dos segmentos de recta con un extremo común, decimos que estos forman un ángulo y al punto en común de estos segmentos lo llamamos vértice del ángulo y es posible medir la amplitud del ángulo que estos forman recurriendo a algunas figuras geométricas.

Ángulo | totumat.com

Grados

Podemos usar las circunferencias para medir ángulos y es que si seccionamos una circunferencia en 360 partes, podemos corresponder cada ángulo con cada una de estas secciones para poder definir un patrón de medida que llamaremos grados.

Círculo con todos los ángulos de 15 en 15 | totumat.com

Veamos la ilustración de algunos ángulos para entender esta idea con mayor claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Un ángulo con una amplitud de 45 grados, que se denota como 45^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 45 grados en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 2

Un ángulo con una amplitud de 109 grados, que se denota como 109^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 109 grados en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 3

Un ángulo con una amplitud de 26 grados, que se denota como 26^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 26 grados en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 4

Un ángulo con una amplitud de 285 grados, que se denota como 285^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 285 grados en una circunferencia | totumat.com

En este último caso, notemos que hemos considerado exactamente el espacio entre ellos dos, si no que más bien hemos fijado uno de los segmentos y hemos medido la amplitud del ángulo en sentido anti horario, pues este será el estándar para la medición de ángulos.


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Radianes

Habiendo establecido una relación entre una circunferencia y los ángulos, consideremos de forma particular una circunferencia de radio r=1, entonces podemos expresar la longitud de arco de esta circunferencia de la forma

C = 2 \pi

Un ángulo de 180 grados, puede presentarse como un segmento de circunferencia tomado de una mitad de dicha circunferencia, ilustrado de la siguiente forma:

Semicírculo, mitad de una circunferencia | totumat.com

Si llamamos S a la longitud de este segmento de circunferencia, podemos calcular su medida tomando en cuenta que si el segmento representa la mitad de la circunferencia y que la longitud de arco de la circunferencia es C = 2 \pi, entonces basta con dividir por dos en ambos lados de la igualdad para obtener que

S = \frac{2\pi}{2} = \pi

Por otra parte, un ángulo de 90 grados, puede presentarse como un segmento de circunferencia tomado de un cuarto de dicha circunferencia, ilustrado de la siguiente forma:

cuarto de una circunferencia | totumat.com

Si llamamos S a la longitud de este segmento de circunferencia, podemos calcular su medida tomando en cuenta que si el segmento representa la mitad de la circunferencia y que la longitud de arco de la circunferencia es C = 2 \pi, entonces basta con dividir por cuatro en ambos lados de la igualdad para obtener que

S = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}

Más aún, un ángulo de 45 grados, puede presentarse como un segmento de circunferencia tomado de un octavo de dicha circunferencia, ilustrado de la siguiente forma:

octavo de una circunferencia | totumat.com

Si llamamos S a la longitud de este segmento de circunferencia, podemos calcular su medida tomando en cuenta que si el segmento representa la mitad de la circunferencia y que la longitud de arco de la circunferencia es C = 2 \pi, entonces basta con dividir por ocho en ambos lados de la igualdad para obtener que

S = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}

Entonces, podemos establecer una relación entre estos ángulos y el número \pi, de forma que 180^{\circ} está correspondido con \pi, 90^{\circ} está correspondido con \frac{\pi}{2} y 45^{\circ} está correspondido con \frac{\pi}{4} e incluso, un ángulo de 360^{\circ} está correspondido con 2 \pi. Así que vale la pena preguntarse, ¿será posible corresponder cualquier ángulo con una proporción de \pi?

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La respuesta es sí, pues dado un ángulo \alpha, partimos de la siguientes correspondencias: si 180 está correspondido con \pi y \alpha estará correspondido con un valor x. Esto quiere decir que sus proporciones son las mismas, es decir,

\frac{180}{\alpha} = \frac{\pi}{x}

Y a partir de esta ecuación, podemos despejar la incógnita x para obtener que

x = \frac{\alpha}{180} \cdot \pi

Al valor de x correspondido con el ángulo \alpha se conoce como radián y de esta forma, definimos un nuevo patrón de medida para ángulos en función de \pi que llamaremos radianes y que podemos corresponder con cada medida en grados. En la siguiente tabla, definimos los ángulos más comunes.

Equivalencia de ángulos desde 15 grados hasta 180 grados.

Tabla de Conversión de Grados a Radianes | totumat.com

Equivalencia de ángulos desde 195 grados hasta 360 grados.

Tabla de Conversión de Grados a Radianes | totumat.com

Veamos la ilustración de algunos ángulos para entender esta idea con mayor claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Un ángulo con una amplitud de \frac{\pi}{4} radianes es equivalente a 45^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de pi cuartos radianes en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 6

Un ángulo con una amplitud de 5\frac{\pi}{6} radianes es equivalente a 150^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de cinco pi sextos radianes en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 7

Un ángulo con una amplitud de 5\frac{\pi}{36} radianes es equivalente a 25^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de cinco pi treinta y seisavos radianes en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 8

Un ángulo con una amplitud de 191\frac{\pi}{180} radianes es equivalente a 191^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de siento noventa y uno pi ciento ochentavos radianes en una circunferencia | totumat.com

(me)^2 totumat.com

Memes Matemáticos – Enero 2021

La popularidad de un meme refleja la forma en que la sociedad comprende un hecho y las matemáticas no se escapan de esto, pues la comunidad matemática en las redes sociales ha aumentado su presencia en los últimos meses. El mes de Enero del año 2020 duró aproximadamente 75 días, pero el mes de Enero del año 2021 duró alrededor de dos semanas y de este breve mes, traemos para ti una compilación de los mejores memes matemáticos.

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¿Pi es igual a 4?

Las demostraciones matemáticas son rigurosas y no admiten ambigüedades, sin embargo, en ocasiones podemos toparnos con un argumento que pareciera ser tan lógico como para constituir una demostración, pues como decía mi profesor de Geometría Métrica Plana: “un dibujo no es una demostración”. En esta ocasión, el usuario u/Mercurial_Rhombus presenta un secuencia de pasos que pareciera indicar que la longitud de arco de un cuadrado es igual a longitud de arco de una circunferencia. En la imagen se puede leer:

  1. Dibuje un círculo de diámetro 1.
  2. Dibuje un cuadrado circunscrito, este tendrá perímetro igual a 4.
  3. Remueva las esquinas del cuadrado. El perímetro seguirá siendo 4.
  4. Remueva más esquinas. El perímetro seguirá siendo 4.
  5. Repita hasta el infinito.
  6. \pi = 4.

¿Algún problema, Arquímedes?

r/mathmemes - Problem?

Tomando en cuenta que \pi está definido como la división del perímetro del triángulo entre la longitud del arco que define la circunferencia, esta persona concluye que \pi = 4. Esta pseudo demostración generó una discusión en reddit pues no pareciera haber falla en esta lógica. Sin embargo, la realidad es que el cálculo infinitesimal no se debe tomar tan a la ligera.

Si bien, el área de la figura que se está generando se asemeja el área de la circunferencia, no ocurre lo mismo con la longitud de arco, pues el área de la figura generada siempre será una especie de sierra y cuando sumamos la longitud de estos pequeños segmentos (así sea una suma infinita de longitudes infinitamente pequeñas), el área será igual a 4. Sin embargo, una circunferencia no tiene estas sierras, pues es una figura totalmente suave por lo tanto, esta estimación presenta una holgura muy amplia.

Vectores normales

Cuando consideramos vectores en el espacio cartesiano, siempre será interesante estudiar su posición respecto a otros objetos en el espacio. Resulta de particular interés estudiar su perpendicularidad respecto a otros objetos, en este caso se habla de vectores normales. Esto es lo que expone el usuario u/vreawillsaveyou, en la imagen se puede leer

Cuando tu amigo te pregunta como luce un vector normal de un plano.

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“El título también”

Leer un libro de matemáticas puede resultar abrumador por la cantidad de demostraciones que en ellos se presentan, es por esto que los autores siempre ahorrarán tiempo y espacio, enunciando demostraciones como “esto es trivial”, “es obvio” o la menos favorita “la demostración se deja como ejercicio para lector” (esto ocurre con las que no son obvias ni triviales). Esto es lo que expone el usuario u/BlacInTime19, donde podemos leer

El meme se deja como un ejercicio para el lector.







r/mathmemes - The title too

Tres reglas

La recta real es una de las figuras geométricas básicas que nos permite estudiar de forma visual las interacciones entre los números reales, y posteriormente, el plano cartesiano y el espacio cartesiano nos facilitan el estudio de funciones con una y dos variables. Sin embargo, a medida que agregamos variables, debemos recurrir a espacios n-dimensionales y es aquí donde empieza a fallar nuestra imaginación, pues nuestro cerebro está adaptado sólo a reconocer visualmente espacios tridimensionales. Esto es lo que expone el usuario u/slaf42, en la imagen se puede leer:

Primer panel:

3 reglas:

  • No desear la muerte
  • No enamoramientos
  • No traer muertos a la vida

Segundo Panel:

Persona: “Quisiera poder visualizar espacios n-dimensionales para n >3“.

Genio (con molestia): “Hay 4 reglas”.

r/mathmemes - Studying manifolds got me like...
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-1/12

La Hipótesis de Riemann ha generado mucha discusión en la comunidad matemática, pero también ha generado mucha confusión entre aquellos que están aprendiendo. Básicamente, se ha definido la Función Zeta de Riemann para números complejos con parte real mayor que uno, de la siguiente forma:

\xi (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

El problema que se plantea es el de calcular las raíces de esta función, es decir, los valores para los cuales \xi (s) = 0. Al considerar esta función, notemos que el caso que s=-1, esta función se puede reescribir como la sumatoria

\sum_{n=1}^{\infty} n

Sin embargo, al considerar la función como regla de correspondencia (no como la suma de todos los números naturales) a través de método de convergencia, esta corresponde a s=-1 con -\frac{1}{12}. Esta confusión para los nuevos estudiantes de matemáticas es la que expone el usuario u/5UJAN, pues podemos ver en la siguiente imagen que

La operación en el pizarrón es igual a -\frac{1}{12}, pero la persona que está al frente del pizarrón no sabe la respuesta así que voltea a ver si alguno de sus compañeros le puede ayudar.

Uno de sus compañeros le muestra la sumatoria \sum_{n=1}^{\infty} n, así que la persona que está frente al pizarrón responde con \infty.

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La distancia entre dos puntos

Calcular la distancia entre dos puntos es una herramienta potente que se puede generalizar para espacios n-dimensionales, sin embargo, al observar dos puntos la distancia entre ellos dos puede saltar a la vista, así que usar la fórmula para calcular la distancia es como matar una mosca con un cañón. Esto es lo que expone el usuario u/defntlynot_clp-e46, en la imagen se puede leer

Usar la fórmula de la distancia para calcular la distancia entre (2,0,0) y (-3,0,0).

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En el mismo orden de ideas, este formato de meme se usa para señalar qué es lo que ocurre cuando calculamos la solución de la ecuación cuadrática x^2 - 1 usando la Fórmula Cuadrática. En la imagen se puede leer:

Yo, usando \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} para calcular las raíces de x^2 -1 = 0.

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+C

Uno de los memes más repetidos en las matemáticas, es el que nos recuerda que debemos sumar C después de calcular la integrales, esto se debe a que al calcular la integral de una función, estamos calculando toda la familia de antiderivadas, pero muchos estudiantes olvidan ese elemento después de hacer extensos cálculos. Esto es lo que expone un usuario de Facebook.

May be a meme of ‎text that says '‎Cuando no se te olvido el +C en tu examen de cálculo integral Pero se te olvida el nombre Q8 GDر‎'‎

Ese engreído de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece una relación en entre los lados de un triángulo rectángulo, precisamente entre los catetos y la hipotenusa de este. Es por eso que al pensar en Pitágoras, es inevitable pensar en triángulos rectángulos. Esto es lo que exponen los hermanos Jenkins en la siguiente viñeta, donde se puede leer:

“Agh, ahí va ese tal Pitágoras”

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Físicas

Observar experimentos de físicas es muy divertido y sin duda alguna, genera atracción sobre el estudio de la física. Sin embargo, estudiar física requiere de estudios matemáticos avanzados. Esto es lo que se expone en este meme de Facebook.

May be a meme of dog and text that says 'physics math some cool theoryyou don't understand Gaoier @ math math'

La función inversa

Al estudiar las funciones, resulta de interés estudiar la composición de funciones y de forma aún más particular, el estudio de las funciones inversas. Este meme ilustra la composición de funciones de la mejor forma posible.

May be an image of cat and text

¿Crees que se nos escapó un meme? ¡Comparte tu mejor meme en los comentarios!