Cálculo de Matriz Inversa – Cramer

Una vez que hemos definido la matriz inversa, lo natural es determinar una forma de calcular la matriz inversa, pues no siempre contaremos con ella. Existen diversos métodos para calcular la matriz inversa de una matriz no-singular A, por ahora veremos solo uno de ellos.

A continuación veremos un método que nos permite calcular la inversa de una matriz usando el cálculo de determinantes y la transposición de matrices, a partir de este método se deriva una técnica para calcular la solución sistemas de ecuaciones lineales conocida como la Regla de Cramer.

Consideraremos cinco pasos que nos permitirán calcular la matriz inversa de una matriz A:

Paso I: Verificamos que la matriz A sea no-singular. Es decir, verificamos que

|A| \neq 0

Paso II: Calculamos todos los cofactores de la matriz A y con ellos, construimos la matriz de cofactores C(A). Es decir, una matriz tal que,

[C(A)]_{ij} = c(a_{ij})

Paso III: Transponemos la matriz de cofactores. A esta nueva matriz la llamamos Matriz Adjunta de A, la denotamos por

adj(A)

Pso IV: Definimos la inversa de la matriz A como la matriz adjunta, dividida entre el determinante de A. Es decir,

A^{-1} = \frac{adj(A)}{|a|}

Paso V: Verificamos que nuestros cálculos son correctos multiplicando

A \times A^{-1} \text{ y } A^{-1} \times A

Veamos con algunos ejemplos como calcular la inversa de matrices de tamaño tres, pues de esta forma podemos seguir los cálculos con facilidad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la inversa de la matriz A.

Paso I: Verificamos que la matriz A sea no-singular. Es decir, verificamos que |A| \neq 0.

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de A, es decir, C(A).

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de A, es decir, adj(A).

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de A, es decir, A^{-1}.

Paso V: Queda de parte del lector verificar que A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3.

Ejemplo 2

Calcule la inversa de la matriz A.

Paso I: Verificamos que la matriz A sea no-singular. Es decir, verificamos que |A| \neq 0.

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de A, es decir, C(A).

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de A, es decir, adj(A).

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de A, es decir, A^{-1}.

Paso V: Queda de parte del lector verificar que A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3.

Ejemplo 3

Calcule la inversa de la matriz A.

Paso I: Verificamos que la matriz A sea no-singular. Es decir, verificamos que |A| \neq 0.

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de A, es decir, C(A).

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de A, es decir, adj(A).

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de A, es decir, A^{-1}.

Paso V: Queda de parte del lector verificar que A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3.

Ejemplo 4

Calcule la inversa de la matriz A.

Paso I: Verificamos que la matriz A sea no-singular. Es decir, verificamos que |A| \neq 0.

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de A, es decir, C(A).

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de A, es decir, adj(A).

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de A, es decir, A^{-1}.

Paso V: Queda de parte del lector verificar que A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3.


La Matriz Inversa

Hemos definido operaciones de suma, resta y multiplicación entre matrices, sin embargo, ¿existirá la división entre matrices? Así como hemos definido el inverso multiplicativo en el conjunto de los número reales, para algunas matrices, es posible definir una nueva matriz que cumple con las propiedades del inverso multiplicativo.

Si consideramos una matriz cuadrada A, diremos que esta es una matriz singular si su determinante es exactamente igual a cero, es decir, |A| = 0. Por otra parte, diremos que es una matriz no-singular si su determinante es distinto de cero, es decir, A \neq 0.

Si consideramos A una matriz no-singular, definimos la matriz inversa de A como una nueva matriz A^{-1} que cumple con la siguiente condición:

A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}

De cumplirse esta condición, también podemos decir que A es una matriz invertible. Veamos algunos ejemplos de matrices invertibles de tamaño dos por dos para ver con claridad los cálculos involucrados.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz A, de tamaño, 2 \times 2 y la matriz A^{-1}, de tamaño, 2 \times 2 . Verifique que A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_2.

Calculamos A \times A^{-1}.

Calculamos A^{-1} \times A.

Ejemplo 2

Considerando la matriz A, de tamaño, 2 \times 2 y la matriz A^{-1}, de tamaño, 2 \times 2 . Verifique que A \times A^{-1} = A \times A^{-1} = \mathbf{I}_2.

Calculamos A \times A^{-1}.

Calculamos A^{-1} \times A.


Matrices Especiales

Al trabajar con matrices, nos toparemos de forma recurrente con algunas matrices que tienen ciertas características muy particulares, a este tipo de matrices se les conocen como matrices especiales y a continuación las listaremos junto con algunas de sus propiedades respecto a las operaciones con otras matrices y su determinante.

Matriz Cero

La Matriz Cero es una matriz cuadrada tal que cada uno de sus elementos es igual a cero, se denota con un cero en negrita \mathbf{0} para diferenciarla del escalar cero.Formalmente decimos que [\mathbf{0}]_{ij} = 0 para todo i,j y la expresamos de la siguiente manera:

  • Si A es una matriz, entonces \mathbf{0} + A = A + \mathbf{0} = A.
  • Si A es una matriz, entonces \mathbf{0} \times A = A \times \mathbf{0} = \mathbf{0}.
  • Su determinante es igual a cero, es decir, |\mathbf{0}| = 0.

Las siguientes matrices son matrices cero del tamaño correspondiente:

Matriz Identidad

La Matriz Identidad es una matriz cuadrada tal que cada uno de sus elementos es igual a cero, salvo los elementos de su diagonal que son todos iguales a uno, se denota con \mathbf{I}_{n}. Formalmente decimos que [\mathbf{I}_{n}]_{ij} = 1 para todo i=j y [\mathbf{I}_{n}]_{ij} = 0 para todo i \neq j, y la expresamos de la siguiente manera:

  • Si A es una matriz, entonces \mathbf{I} \times A = A \times \mathbf{I} = A.
  • Su determinante es igual a uno, es decir, |\mathbf{I}| = 1.

Las siguientes matrices son matrices identidad del tamaño correspondiente:

Matriz Diagonal

Una matriz cuadrada es Matriz Diagonal si cada uno de sus elementos fuera de la diagonal es igual a cero, en ocasiones se denotan con \mathbf{D}. Formalmente decimos que $[D]_{ij} = 0$ para todo $i \neq j$ y la expresamos de la siguiente manera:

  • Su determinante es el producto de todos los elementos de su diagonal, es decir, |\mathbf{D}| = a_{11} \cdot \ldots a_{nn}.

Las siguientes matrices son matrices diagonales del tamaño correspondiente:

También podemos definir matrices diagonales que no sean cuadradas pero en esos casos, no podemos calcular su determinante.

Matriz Triangular Superior

Una matriz cuadrada es una Matriz Triangular Superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal, son iguales a cero, en ocasiones se denotan con \mathbf{T_S}. Formalmente decimos que [\mathbf{T_S}]_{ij} = 0 si i > j y la expresamos de la siguiente manera:

Su determinante es el producto de todos los elementos de su diagonal, es decir, |\mathbf{T_S}| = a_{11} \cdot \ldots a_{nn}.

Las siguientes matrices son matrices diagonales del tamaño correspondiente:

También podemos definir matrices triangulares superiores que no sean cuadradas pero en esos casos, no podemos calcular su determinante.

Matriz Triangular Inferior

Una matriz cuadrada es una Matriz Triangular Inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal, son iguales a cero, en ocasiones se denotan con \mathbf{T_I}. Formalmente decimos que [\mathbf{T_I}]_{ij} = 0 si i < j y la expresamos de la siguiente manera:

  • Su determinante es el producto de todos los elementos de su diagonal, es decir, |\mathbf{T_I}| = a_{11} \cdot \ldots a_{nn}

Las siguientes matrices son matrices diagonales del tamaño correspondiente:

También podemos definir matrices triangulares inferiores que no sean cuadradas pero en esos casos, no podemos calcular su determinante.


Funciones Algebraicas

Empezaremos estudiando todas las funciones que se pueden expresar de forma general como f(x) = x^q, con q \in \mathbb{Q}. A este tipo de funciones las llamaremos Funciones Algebraicas.

Función Identidad

Definimos la función identidad como una regla que corresponde a cada número real con él mismo, es decir, que identifica a cada número real. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En ocasiones denotaremos esta función con la letra I, de la siguiente forma I(x)=x.

Función Cuadrática

También se conoce como parábola y corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cuadrado. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^2

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = [0,+\infty]

En general, cualquier función de la forma f(x)=x^n con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más lento crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Cúbica

Corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cubo. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^3

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En general, cualquier función de la forma f(x)=x^n con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más lento crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función de proporcionalidad inversa

Esta función también se conoce como hipérbola y corresponde a cada número real con la x-ésima parte de 1, imagine que usted tiene una torta y desea repartirla toda entre x personas, entonces le da a cada persona un pedazo de tamaño \frac{1}{x}. Mientras mayor sea la cantidad de personas, más pequeño es el pedazo que le corresponde a cada una y mientras menor sea la cantidad de personas, más grande es el pedazo que le corresponde a cada una. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x}

Dom(f) = \mathbb{R}-{0}

Rgo(f) = \mathbb{R}-{0}

Notemos que por más grande que sea el valor de x, la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de x la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma f(x)=\frac{1}{x^n} con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido decrecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Hay que destacar otra función íntimamente relacionada con la función de proporcionalidad inversa, y es que si elevamos ésta al cuadrado, obtendremos la función \frac{1}{x^2}, es muy parecida a la función \frac{1}{x}, salvo que esta es positiva cuando los valores de x son negativos y además. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x^2}

Dom(f) = \mathbb{R}-{0}

Rgo(f) = (0,\infty)

Notemos que por más grande que sea el valor de x, la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de x la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma f(x)=\frac{1}{x^n} con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido decrecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Raíz Cuadrada

La raíz cuadrada de un número x se define como un número que multiplicado por él mismo es igual a x y se denota por \sqrt{x}. Notemos que no tiene sentido definir la raíz cuadrada de un número negativo pues no existe un número que multiplicado por él mismo sea negativo. Formalmente, definimos esta función como

f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}

Dom(f) = [0,+\infty)

Rgo(f) = [0,+\infty)

En general, cualquier función de la forma f(x)=\sqrt[n]{x} con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más lento crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Raíz Cúbica

La raíz cúbica de un número x se define como un número que multiplicado tres veces por él mismo es igual a x y se denota por \sqrt[3]{x}. Contrario a la raíz cuadrada, en este caso sí tiene sentido definir la raíz cúbica de un número negativo. Formalmente, definimos esta función como

f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En general, cualquier función de la forma f(x)=\sqrt[n]{x} con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más lento crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.


Determinantes – Método de Sarrus

Al calcular determinantes, podemos nota que si expandimos todos productos cuando aplicamos el Método de Laplace, podemos ordenar los sumandos y establecer un método que nos permita recordar con facilidad la forma en que calculamos determinantes. Consideremos el siguiente determinante de una matriz A y veamos los pasos para calcularlo.

Primero añadimos dos columnas adicionales que sean iguales a las primeras dos columnas de la matriz original.

Para cada diagonal azul, multiplicamos los elementos que esta contiene.

a_{11} a_{22} a_{33} \text{, } a_{12} a_{23} a_{31} \text{ y } a_{13} a_{21} a_{32}

Para cada diagonal roja, multiplicamos los elementos que esta contiene.

a_{13} a_{22} a_{31} \text{, } a_{11} a_{23} a_{32} \text{ y } a_{12} a_{21} a_{33}

Finalmente, sumamos todos los productos generados por las diagonales azules y restamos todos los productos generados por las diagonales rojas:

Este método es llamado Método de Sarrus y vulgarmente se conoce como el Método de La Lluvia a partir de una regla mnemotécnica pues las rayas que se trazan como guía para hacer los productos correspondientes se asemejan a la lluvia. Veamos con algunos ejemplos como aplicar este método.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, calcule su determinante.

= ( -40 ) + ( 175 ) + ( -64 ) - ( 100 ) - ( -40 ) - ( -112 )

= 123

Ejemplo 2

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, calcule su determinante.

= ( 216 ) + ( 90 ) + ( -72 ) - ( -48 ) - ( 72 ) - ( 405 )

= -195

Ejemplo 3

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, calcule su determinante.

= ( 36 ) + ( -216 ) + ( 150 ) - ( 45 ) - ( -216 ) - ( 120 )

= 21

Ejemplo 4

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, calcule su determinante.

= ( 48 ) + ( 49 ) + ( -162 ) - ( 18 ) - ( 126 ) - ( -168 )

= -41