Método de Sustitución de Variable

Consideremos la función f(x)=(x+3)^2, ¿de qué forma calcularía usted la integral de esta función? Con las herramientas que conocemos actualmente, la estrategia intuitiva es expandir la expresión aplicando el producto notable y calcular al integral del polinomio resultante de la siguiente manera:

\int (x+3)^2 \, dx =\int (x^2 + 6x + 9) \, dx

Y tras consultar la tabla de integrales y aplicar las propiedades aprendidas, tenemos que,

\int x^2 \, dx + \int 6x \, dx +\int 9 \, dx = \frac{x^3}{3} + 3 x^2 + 9x + C

Consideremos ahora una función levemente distinta, supongamos que queremos calcular la integral de la función f(x) = (x+3)^{20}. Pudiéramos pensar en expandir la expresión con alguna técnica como el triángulo de pascal pero este proceso pudiera ser engorroso, más aún si consideramos una función expresada como f(x) = (x+3)^{200}. Entonces, debemos desarrollar un método que nos permita calcular la integral de este tipo de funciones.

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces a partir de la Regla de la Cadena para la derivada de funciones compuestas podemos concluir lo siguiente

De esta forma, podemos simplificar funciones dentro de una integral considerando una variable auxiliar t = g(x) y sustituyéndola en la función. Tomando en cuenta que el diferencial de la variable t viene dado por dt = g'(x)dx, podemos reescribir esta última igualdad de la siguiente forma:

A esta simplificación la llamaremos Método de Sustitución de Variable, y retomando el ejemplo que habíamos considerado, calculemos la integral de f(x) = (x+3)^{20}.

Debemos considerar una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y la idea es que al simplificarla podamos usar las herramientas que conocemos actualmente. Entonces, si consideramos la variable auxiliar t=x+3, su diferencial será dt = (x+3)' dx = (1) dx = dx, y así obtenemos la siguiente igualdad:

Si consultamos la tabla de integrales, la integral de la función t^{20} se calcula de forma directa, por lo tanto,

\int t^{20} \, dt = \frac{t^{21}}{21} + C

Finalmente, debemos recordar que t es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original para obtener que

\int (x+3)^{20} \, dx = \frac{(x+3)^{21}}{21} + C

Veamos algunos ejemplos en los que el método de sustitución de variable requiere un poco más de ingenio pues no siempre será tan directo.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la integral de f(x) = (x-5)^{7}, es decir,

\int (x-5)^{7} \, dx

Notamos que no podemos calcular esta integral de forma directa. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

t=x-5
\Rightarrow \ dt = (x-5)' dx = dx

Entonces, sustituyendo esta variable auxiliar en nuestra función, obtenemos que

Si consultamos la tabla de integrales, la integral de la función t^{7} se calcula de forma directa y obtenemos

\frac{t^{8}}{8} + C

Finalmente, debemos recordar que t es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

\int (x-5)^{7} \, dx = \frac{(x-5)^{8}}{8} + C

Ejemplo 2

Calcule la integral de f(x) = (x^2+9)^{11}2x, es decir,

\int (x^2+9)^{11}2x \, dx

Notamos que esta función está definida como un producto de funciones y pese a que no hay una regla general para el producto, podemos calcular la integral con una sustitución de variables. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

t=x^2+9
\Rightarrow \ dt = (x^2+9)' dx = 2xdx

Entonces, sustituyendo esta variable auxiliar en nuestra función, obtenemos que

Si consultamos la tabla de integrales, la integral de la función t^{11} se calcula de forma directa y obtenemos

\frac{t^{12}}{12} + C

Finalmente, debemos recordar que t es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

\int (x^2+9)^{12} \, dx = \frac{(x^2+9)^{12}}{12} + C

Ejemplo 3

Calcule la integral de f(x) = \textit{\Large e}^{6x-1}, es decir,

\int \textit{\Large e}^{6x-1} \, dx

Notamos que no podemos calcular esta integral de forma directa. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

t=6x-1
\Rightarrow \ dt = (6x-1)' dx = 6dx

Debemos notar que no podemos sustituir el diferencial dx tal como lo hicimos en los ejemplos anteriores porque en este caso dt=6dx, y si nos fijamos en la función original, no aparece el factor 6dx. Entonces podemos incluir t pero no dt, ya que no aparece el 6 que necesitamos para poder sustituir el diferencial dt.

Para solucionar esta situación, multiplicamos y dividimos por 6 dentro de la integral (básicamente estamos multiplicando por 1 así que la función permanece inalterada) para obtener

\int \textit{\Large e}^{t} \frac{6}{6} \, dx

Multiplicando el 6 del numerador por el diferencial dx obtenemos el factor 6dx que estamos buscando para sustituir el diferencial dt de la siguiente manera

Como \frac{1}{6} es una constante, podemos sacarla de la integral y calcularla de forma directa

\frac{1}{6} \int \textit{\Large e}^{t} \, dt = \frac{1}{6} \textit{\Large e}^{t} + C

Finalmente, debemos recordar que t es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

\int \textit{\Large e}^{6x-1} \, dx = \frac{1}{6} \textit{\Large e}^{6x-1} + C

Nota: Es importante notar que aunque este es el correcto proceder, al final sustituimos dx por \frac{dt}{6}. De esta forma, podemos tomar algunas ligerezas y despejar dx una vez que se ha calculado el diferencial dt. Entonces, haciendo un abuso del lenguaje, podemos en estos casos, considerar los diferenciales dx y dt como si fueran factores para despejarlos en ecuaciones.

Ejemplo 4

Calcule la integral de f(x) = \frac{1}{5x+8}, es decir,

\int \frac{1}{5x+8} \, dx

Notamos que no podemos calcular esta integral de forma directa. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

t=5x+8
\Rightarrow \ dt = 5dx
\Rightarrow \ \frac{dt}{5} = dx

Entonces, sustituyendo esta variable auxiliar en nuestra función, obtenemos que

Como \frac{1}{5} es una constante, podemos sacarla de la integral y calcularla de forma directa

\frac{1}{5} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{5} \ln|t| + C

Finalmente, debemos recordar que t es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

\int \frac{1}{5x+8} \, dx = \frac{1}{5} \ln|5x+8| + C

Ejemplo 5

Calcule la integral de f(x) = x\sqrt[3]{-4x^2+1}, es decir,

\int x\sqrt[3]{-4x^2+1} \, dx

Notamos que no podemos calcular esta integral de forma directa. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

t=-4x^2+1
\Rightarrow \ dt = -8xdx
\Rightarrow \ \frac{dt}{-8} = xdx

Notemos que no siempre es necesario despejar dx enteramente pues en este caso nos basta obtener la expresión xdx ya que\int x\sqrt[3]{-4x^2+1} \, dx = \int \sqrt[3]{-4x^2+1} \cdot x \, dx

Entonces, sustituyendo esta variable auxiliar en nuestra función, obtenemos que

Como \frac{1}{-8} es una constante, podemos sacarla de la integral y calcularla de forma directa

-\frac{1}{8} \int t^{\frac{1}{3}} \, dt = -\frac{1}{8} \frac{t^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = -\frac{3}{32} t^{\frac{4}{3}} + C

Finalmente, debemos recordar que t es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

\int x\sqrt[3]{-4x^2+1} \, dx = -\frac{3}{32} (-4x^2+1)^{\frac{4}{3}} + C

Ejemplo 6

Calcule la integral de f(x)=\frac{\ln(x)}{x}, es decir,

\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx

Notamos que no podemos calcular esta integral de forma directa. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

t=\ln(x)
\Rightarrow \, dt = \frac{1}{x} \, dx

Entonces, sustituyendo esta variable auxiliar en nuestra función, obtenemos que

Calculamos esta integral de forma directa para obtener

\frac{t^2}{2} + C

Finalmente, debemos recordar que t es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \frac{\left( \ln(x) \right)^2}{2} + C


En estos ejemplos hemos visto los casos más básicos del Método de Sustitución de Variables para facilitar su entendimiento, sin embargo, hay casos para funciones más complejas en las que se puede usar.

Autor: Anthonny Arias

Coordinador de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.

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