Extremos locales

Diremos que una función alcanza un máximo local en un punto x_0, si existe un intervalo (a,b) tal que x_0 está contenido en dicho intervalo y demás f(x) \leq f(x_0) para todo x \in (a,b). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos del intervalo (a,b) están por debajo de la imagen de x_0 pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en el punto (x_0,f(x_0)) es horizontal,

Por otra parte, diremos que una función alcanza un mínimo local en un punto x_0, si existe un intervalo (a,b) tal que x_0 está contenido en dicho intervalo y demás f(x) \geq f(x_0) para todo x \in (a,b). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos del intervalo (a,b) están por encima de la imagen de x_0 pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en el punto (x_0,f(x_0)) es horizontal,

Los máximos locales y mínimos locales de una función, serán llamados extremos locales, y estarán íntimamente relacionados con la derivada de la función pues al estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función, encontramos puntos en los que esta deja de crecer para empezar a decrecer o; deja de decrecer para empezar a crecer, entonces nos preguntamos, ¿qué ocurre en estos puntos?

En estos puntos, la recta tangente a la curva será horizontal, es decir, su pendiente es igual a cero. Así, definimos un Punto Crítico de una función, como un punto en el que la derivada se anula (o donde no existe su derivada). Formalmente, decimos que x_0 es un punto crítico de f(x) si

La importancia de los puntos críticos radica en que, debido a su naturaleza, son los perfectos candidatos para ser extremos locales de una función. Debemos tomar en cuenta, son tan solo candidatos pues no podemos asegurar su papel hasta no determinarlo de forma precisa. Para esto, debemos estudiar el comportamiento de la función en los lados del punto crítico.

Sea f(x) una función definida en un intervalo (a,b), x_0 \in (a,b) un punto crítico de esta, x \in (a,b) distinto de x_0,

  • Si f'(x) > 0 cuando x < x_0 y f'(x) < 0 cuando x > x_0,
    entonces f(x) alcanza un máximo local en x_0.
  • Si f'(x) < 0 cuando x < x_0 y f'(x) > 0 cuando x > x_0,
    entonces f(x) alcanza un mínimo local en x_0

Básicamente, si la función crece del lado izquierdo de x_0 y decrece del lado derecho de x_0, entonces esta alcanza un máximo en x_0. Si la función decrece del lado izquierdo de x_0 y crece del lado derecho de x_0, entonces esta alcanza un mínimo en x_0 A este criterio se le conoce como el Criterio de la Primera Derivada para extremos locales.

Para determinar los extremos locales de una función usando el Criterio de la Primera Derivada recurriremos a las tablas de análisis de signo, pues de esta forma se puede estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función con mayor facilidad. Veamos entonces algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Determine los extremos locales de la función f(x)=x^2.

El primer paso es calcular la primera derivada y calcular los puntos en los que esta se anula. Entonces, f'(x)=2x y esta función se anula cuando 2x=0 \Rightarrow x=0. Así, que x=0 es el único punto crítico de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

De esta forma, concluimos que la función f(x)=x^2 es decreciente en el intervalo (-\infty,0) y es creciente en el intervalo (0,+\infty), por lo tanto f(x) alcanza un mínimo local en el punto x_0=0.

Ejemplo 2

Determine los extremos locales de la función f(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2} + 6x.

El primer paso es calcular la primera derivada y calcular los puntos en los que esta se anula. Entonces, f'(x)=x^2 + 5x + 6 y esta función se anula cuando x^2 + 5x + 6=0 \Rightarrow (x+2)(x+3)=0. Así, que x=-2 y x=-3 son los puntos críticos de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

De esta forma, concluimos que la función f(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2} + 6x es creciente en los intervalos (-\infty,-3) y (-2,+\infty); y es decreciente en el intervalo (-3,-2), por lo tanto f(x) alcanza un máximo local en el punto x_1=-3 y un mínimo local en el punto x_2=-2.

Ejemplo 3

Determine los extremos locales de la función f(x)=\frac{x^3}{6}.

El primer paso es calcular la primera derivada y calcular los puntos en los que esta se anula. Entonces, f'(x)=\frac{x^2}{2} y esta función se anula cuando \frac{x^2}{2} \Rightarrow x=0. Así, que x=0 es el único punto crítico de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

De esta forma, concluimos que la función f(x)=x^2 siempre es creciente, por lo tanto f(x) no tiene extremos relativos.

Este último ejemplo, nos sirve para indicar que el hecho de que una función tenga un punto crítico, no implica que este sea un extremo relativo.

3 comentarios en “Extremos locales

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