Extremos locales y absolutos

Al estudiar el comportamiento de las funciones, hemos visto que una función tiene tendencias crecientes y tendencias decrecientes, pero, ¿qué ocurre con aquellos puntos en los que la función deja decrecer para empezar a decrecer o vice versa? ¿Qué ocurre con aquellos puntos donde la función no crece más o no decrece más?

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Extremos locales

Diremos que una función alcanza un máximo local (o máximo relativo) en un punto x_0, si existe un intervalo (a,b) tal que x_0 está contenido en dicho intervalo y demás f(x) \leq f(x_0) para todo x \in (a,b). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos del intervalo (a,b) están por debajo de la imagen de x_0 pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en el punto (x_0,f(x_0)) es horizontal,

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Por otra parte, diremos que una función alcanza un mínimo local (o mínimo relativo) en un punto x_0, si existe un intervalo (a,b) tal que x_0 está contenido en dicho intervalo y demás f(x) \geq f(x_0) para todo x \in (a,b). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos del intervalo (a,b) están por encima de la imagen de x_0 pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en el punto (x_0,f(x_0)) es horizontal,

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Los máximos locales y mínimos locales de una función, serán llamados extremos locales (o extremos relativos), y estarán íntimamente relacionados con la derivada de la función pues al estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función, encontramos puntos en los que esta deja de crecer para empezar a decrecer o; deja de decrecer para empezar a crecer, entonces nos preguntamos, ¿qué ocurre en estos puntos?

En estos puntos, la recta tangente a la curva será horizontal, es decir, su pendiente es igual a cero. Así, definimos un Punto Crítico de una función, como un punto en el que la derivada se anula (o donde no existe su derivada). Formalmente, decimos que x_0 es un punto crítico de f(x) si

La importancia de los puntos críticos radica en que, debido a su naturaleza, son los perfectos candidatos para ser extremos locales de una función. Debemos tomar en cuenta, son tan solo candidatos pues no podemos asegurar su papel hasta no determinarlo de forma precisa. Para esto, debemos estudiar el comportamiento de la función en los lados del punto crítico.

Criterio de la Primera Derivada

Sea f(x) una función definida en un intervalo (a,b), x_0 \in (a,b) un punto crítico de esta, x \in (a,b) distinto de x_0,

  • Si f'(x) > 0 cuando x < x_0 y f'(x) < 0 cuando x > x_0,
    entonces f(x) alcanza un máximo local en x_0.
  • Si f'(x) < 0 cuando x < x_0 y f'(x) > 0 cuando x > x_0,
    entonces f(x) alcanza un mínimo local en x_0

Básicamente, si la función crece del lado izquierdo de x_0 y decrece del lado derecho de x_0, entonces esta alcanza un máximo en x_0. Si la función decrece del lado izquierdo de x_0 y crece del lado derecho de x_0, entonces esta alcanza un mínimo en x_0 A este criterio se le conoce como el Criterio de la Primera Derivada para extremos locales.

Para determinar los extremos locales de una función usando el Criterio de la Primera Derivada recurriremos a las tablas de análisis de signo, pues de esta forma se puede estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función con mayor facilidad. Veamos entonces algunos ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Determine los extremos locales de la función f(x)=x^2.

El primer paso es calcular la primera derivada y calcular los puntos en los que esta se anula. Entonces, f'(x)=2x y esta función se anula cuando 2x=0 \Rightarrow x=0. Así, que x=0 es el único punto crítico de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

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De esta forma, concluimos que la función f(x)=x^2 es decreciente en el intervalo (-\infty,0) y es creciente en el intervalo (0,+\infty), por lo tanto f(x) alcanza un mínimo local en el punto x_0=0.

Ejemplo 2

Determine los extremos locales de la función f(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2} + 6x.

El primer paso es calcular la primera derivada y calcular los puntos en los que esta se anula. Entonces, f'(x)=x^2 + 5x + 6 y esta función se anula cuando x^2 + 5x + 6=0 \Rightarrow (x+2)(x+3)=0. Así, que x=-2 y x=-3 son los puntos críticos de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

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De esta forma, concluimos que la función f(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2} + 6x es creciente en los intervalos (-\infty,-3) y (-2,+\infty); y es decreciente en el intervalo (-3,-2), por lo tanto f(x) alcanza un máximo local en el punto x_1=-3 y un mínimo local en el punto x_2=-2.

Ejemplo 3

Determine los extremos locales de la función f(x)=\frac{x^3}{6}.

El primer paso es calcular la primera derivada y calcular los puntos en los que esta se anula. Entonces, f'(x)=\frac{x^2}{2} y esta función se anula cuando \frac{x^2}{2} \Rightarrow x=0. Así, que x=0 es el único punto crítico de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

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De esta forma, concluimos que la función f(x)=\frac{x^3}{6} siempre es creciente, por lo tanto f(x) no tiene extremos relativos.

Este último ejemplo, nos sirve para indicar que el hecho de que una función tenga un punto crítico, no implica que este sea un extremo relativo.

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Extremos Absolutos

Los extremos locales, tal como su nombre lo indica, hacen referencia a un conjunto de valores confinados en un intervalo, sin embargo, estos pudieran cumplir condiciones de forma global.

Diremos que una función alcanza el máximo absoluto en un punto x_0, si f(x) \leq f(x_0) para todo x en el dominio de la función. Gráficamente, las imágenes de todos los puntos del dominio están por debajo de la imagen de x_0.

Diremos que una función alcanza el mínimo absoluto en un punto x_0, si f(x) \geq f(x_0) para todo x en el dominio de la función. Gráficamente, las imágenes de todos los puntos del dominio están por encima de la imagen de x_0.

El máximo absoluto y mínimo absoluto de una función, serán llamados extremos absolutos de la función, y si bien el dominio que se menciona puede ser todo el conjunto de los números reales, también pudiera ser un intervalo cerrado. El siguiente teorema, provee un criterio que permite determinar los extremos absolutos en un intervalo cerrado.

Teorema (del Valor Extremo)

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f alcanza un máximo absoluto f(x_1) y un mínimo absoluto f(x_2) para algunos puntos x_1 y x_2 contenidos en el intervalo [a,b].

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Ejemplos

Ejemplo 1

Determine los extremos absolutos de la función f(x)=x^2 en el intervalo [-2,2].

Para calcular los extremos absolutos, debemos calcular los extremos locales y posteriormente compararlos con los valores de la función en los extremos del intervalo.

El primer paso es calcular la primera derivada y calcular los puntos en los que esta se anula. Entonces, f'(x)=2x y esta función se anula cuando 2x=0 \Rightarrow x=0. Así, que x=0 es el único punto crítico de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

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De esta forma, concluimos que la función f(x)=x^2 es decreciente en el intervalo (-\infty,0) y es creciente en el intervalo (0,+\infty), por lo tanto f(x) alcanza un mínimo local en el punto x_0=0 y en este punto, la función alcanza el valor

f(0)=0

Al calcular la función en los extremos del intervalo, tenemos que

f(-2) = f(2) = 4

Al ser f(0)=0 el menor valor, diremos que este es el mínimo absoluto y al ser f(-2) = f(2) = 4 el mayor valor, diremos que este es el máximo absoluto.

Ejemplo 2

Determine los extremos locales de la función f(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2} + 6x en el intervalo [-5,0].

El primer paso es calcular la primera derivada y calcular los puntos en los que esta se anula. Entonces, f'(x)=x^2 + 5x + 6 y esta función se anula cuando x^2 + 5x + 6=0 \Rightarrow (x+2)(x+3)=0. Así, que x=-2 y x=-3 son los puntos críticos de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

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De esta forma, concluimos que la función f(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2} + 6x es creciente en los intervalos (-\infty,-3) y (-2,+\infty); y es decreciente en el intervalo (-3,-2), por lo tanto f(x) alcanza un máximo local en el punto x_1=-3 y un mínimo local en el punto x_2=-2. En estos punto, la función alcanza los valores

f(-3)=36 y f(-2)=\frac{32}{3}

Al calcular la función en los extremos del intervalo, tenemos que

f(-5) = \frac{410}{3} y f(0) = 0

Al ser f(0)=0 el menor valor, diremos que este es el mínimo absoluto y al ser f(-5) = \frac{410}{3} el mayor valor, diremos que este es el máximo absoluto.

Ejemplo 3

Determine los extremos locales de la función f(x)=\frac{x^3}{6} en el intervalo [3,10]

El primer paso es calcular la primera derivada y calcular los puntos en los que esta se anula. Entonces, f'(x)=\frac{x^2}{2} y esta función se anula cuando \frac{x^2}{2} \Rightarrow x=0. Así, que x=0 es el único punto crítico de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

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De esta forma, concluimos que la función f(x)=\frac{x^3}{6} siempre es creciente, por lo tanto f(x) no tiene extremos relativos.

Al calcular la función en los extremos del intervalo, tenemos que

f(3) = \frac{9}{2} y f(10) = \frac{500}{3}

Al ser f(3) = \frac{9}{2} el menor valor, diremos que este es el mínimo absoluto y al ser f(10) = \frac{500}{3} el mayor valor, diremos que este es el máximo absoluto.


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