Indeterminación cero a la infinito 0^∞

Este tipo de indeterminaciones se puede abordar como una particularidad del caso 1^\infty pues considerando el límite que define el número \textit{\large e}, podemos definir un cambio de variable que permita calcular este mismo número de una forma distinta. Si definimos una variable t=\frac{1}{x}, entonces, t tiende a cero cuando x tiende a infinito, así

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to 0} \left( 1 + t\right)^{\frac{1}{t}} = \textit{\Large e}

Ejemplo 1

Y a partir de esta igualdad, se puede deducir la fórmula \lim_{x \to 0} f(x)^{g(x)} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to 0} g(x) (f(x) -1)} Veamos entonces con algunos ejemplos como aplicar esta nueva fórmula para determinar este tipo de límites.

Si consideramos \lim_{x \to 0} \left( 3x \right)^{\frac{1}{x-2}} = 0^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Entonces, aplicando la fórmula, tenemos que

\lim_{x \to 0} \left( 3x \right)^{\frac{1}{x-2}} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x-2} \left(3x - 1 \right)}

Entonces, basta con determinar el límite en el exponente \lim_{x \to 0} \frac{1}{x-2} \left(3x - 1 \right) = \lim_{x \to 0} \frac{3x-1}{x-2} = \frac{0-2}{3(0)-1}=\frac{1}{2}. Por lo tanto, concluimos que

\lim_{x \to 0} \left( 3x \right)^{\frac{1}{x-2}} = \textit{\huge e}^{\frac{1}{2}}

¿Requieres más ejemplos? ¿Tiendes dudas? No dudes en escribir.

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