Indeterminación infinito a la cero ∞^0

Este tipo de indeterminaciones se puede abordar como una particularidad del caso 1^{\infty} usando la fórmula \lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} g(x) (f(x) -1)} Veamos entonces con algunos ejemplos como determinar este tipo de límites.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( 4x+9 \right)^{\frac{1}{6x-17}} = \infty^0, este límite presenta una indeterminación. Entonces, aplicando la fórmula, tenemos que

\lim_{x \to \infty} \left( 4x+9 \right)^{\frac{1}{6x-17}} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} \frac{1}{6x-17} \left((4x+9) - 1 \right) }

Entonces, basta con determinar el límite \lim_{x \to \infty} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{6x-17} \left((4x+9) - 1 \right) = 0 \cdot \infty, para esto efectuamos el producto de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} \frac{(4x+9) - 1}{6x-17} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x+8}{6x-17}

Y considerando que el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, es decir, \lim_{x \to \infty} \frac{4x+8}{6x-17} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. Por lo tanto, concluimos que

\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} \right)^{5x + 2} = \textit{\huge e}^{ \frac{2}{3}}

Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( \frac{7x^2 -1}{x - 5} \right)^{\frac{1}{x+2}} = \infty^0, este límite presenta una indeterminación. Entonces, aplicando la fórmula, tenemos que

\lim_{x \to \infty} \left( \frac{7x^2 -1}{x - 5} \right)^{\frac{1}{x+2}} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+2} \left(\frac{7x^2 -1}{x - 5} - 1 \right) }

Entonces, basta con determinar el límite \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+2} \left(\frac{7x^2 -1}{x - 5} - 1 \right) = 0 \cdot \infty, para esto efectuamos la suma de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+2} \left(\frac{7x^2 -1 - (x-5)}{x - 5} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+2} \left(\frac{7x^2 -x +4}{x - 5} \right)

Posteriormente efectuamos el producto entre los numeradores aplicando la propiedad distributiva, y obtenemos

\lim_{x \to \infty} \frac{7x^2 -x +4}{x^2-5x+2x-10} = \lim_{x \to \infty} \frac{7x^2 -x +4}{x^2-3x-10}

Y considerando que el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, es decir, \lim_{x \to \infty} \frac{7x^2 -x +4}{x^2-3x-10} = 7. Por lo tanto, concluimos que

\lim_{x \to \infty} \left( \frac{7x^2 -1}{x - 5} \right)^{\frac{1}{x+2}} = \textit{\huge e}^{7}

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