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Funciones

¿Qué es una función?

Las funciones constituyen un importante elemento de las matemáticas pues a través de ellas se pueden definir relaciones entre cualquier tipo de conjuntos ricas en propiedades. Veremos cuales son las funciones más básicas que podemos definir sentándonos en los números reales, sin embargo, el universo de funciones va mucho más allá.

Dados dos conjuntos A y B, definimos una función que va desde el conjunto A hasta el conjunto B como una regla de correspondencia que corresponde a cada elemento del conjunto A con un único elemento de B. Al conjunto A lo llamaremos conjunto de salida y al conjunto B lo llamaremos conjunto de llegada.

Usualmente denotaremos a las funciones con la letra f, entonces una función que va de A en B se denota como

f: A \longrightarrow B

y formalmente diremos que corresponde a cada elemento a \in A con un único elemento b \in B. Consideremos algunos ejemplos para entender mejor este concepto.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sean A=\{ 1, 2 \} y B=\{ a, b \} dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia f: A \longrightarrow B de la siguiente forma:

1 \rightarrow a
2 \rightarrow b

Esta regla de correspondencia determina una función, ya que a cada elemento de A lo estamos correspondiendo con un único elemento de B.

Ejemplo 2

Sean A=\{ 1, 2, 3 \} y B=\{ a, b, c, d \} dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia f: A \longrightarrow B de la siguiente forma:

1 \rightarrow a
2 \rightarrow b
3 \rightarrow c

Esta regla de correspondencia determina una función. Pese a que al elemento d \in B no lo hemos correspondido con ningún elemento, se mantiene el hecho de que a cada elemento de A lo estamos correspondiendo con un único elemento de B.

Ejemplo 3

Sean A={ 1, 2, 3 } y B={ a, b, c } dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia f: A \longrightarrow B de la siguiente forma:

1 \rightarrow a
2 \rightarrow a
3 \rightarrow b

Esta regla de correspondencia determina una función. Pese a que los elementos 1 \in A y 2 \in A los hemos correspondido con el mismo elemento a \in B, se mantiene el hecho de que a cada elemento de A lo estamos correspondiendo con un único elemento de B.

Ejemplo 4

Sean A={ 1, 2, 3 } y B={ a, b, c } dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia f: A \longrightarrow B de la siguiente forma:

1 \rightarrow a
1 \rightarrow b
2 \rightarrow b
3 \rightarrow c

Esta regla de correspondencia no determina una función. Pues podemos notar inmediatamente que al elemento 1 \in A no lo hemos correspondido con un único elemento de B si no con dos elementos, que en este caso son a,b \in B.

Ejemplo 5

Sean A=\mathbb{N} y B={ 1 } dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia f: A \longrightarrow B de la siguiente forma:

1 \rightarrow 1
2 \rightarrow 1
3 \rightarrow 1
4 \rightarrow 1
\vdots

Esta regla de correspondencia determina una función. Sin embargo, aunque podemos hacernos una idea de todas las correspondencias que ésta hace, no podemos listarlas todas de forma exhaustiva. Es por esto que podemos decir que en general, para cualquier elemento n \in \mathbb{N}, podemos definir esta regla de correspondencia así:

n \rightarrow 1

Ejemplo 6

Formalmente, la notación para definir la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos a través de una función f es la siguiente: Si correspondemos a a \in A con un elemento b \in B, entonces escribimos f(a) = b (esto se lee f de a es igual b). Entonces en nuestro último ejemplo, podemos definir la función de la siguiente forma:

f: \mathbb{N} \longrightarrow { 1 }, \ f(n) = 1

Usemos esta nueva notación en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 7

Sean A=\mathbb{N} y B=\mathbb{N} dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia f: A \longrightarrow B de la siguiente forma: f(n) = n Esta regla de correspondencia determina una función.

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Las funciones reales

Ya que tenemos una idea más clara de lo que es una función, podemos definir algunos de sus elementos ya que de esta forma, podremos analizar funciones más complejas.

Definimos el dominio de una función f como el conjunto de elementos donde ella está definida y lo denotamos como Dom(f), notemos que el dominio de la función f es exactamente igual al conjunto de salida. Si a es un elemento del dominio de la función f, diremos que f(a) es la imagen de a a través de la función f. La expresión f(a) se lee f de a.

Definimos el rango de la función f como el conjunto de todas las imágenes del conjunto A y lo denotamos como Rgo(f), notemos que el rango de la función f está contenido en el conjunto B, es decir, aunque pudiera serlo, no necesariamente es igual al conjunto B.

Por ahora consideraremos funciones reales, que son aquellas funciones definidas como f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}. A partir de este tipo de funciones, si consideramos la variable y=f(x), podemos definir subconjuntos en el plano cartesiano de la siguiente forma:

\left\{ \big( x , y \big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}: y = f(x) \right\}

Usualmente, se llama a la variable x como variable independiente y a la variable y como variable dependiente. Esto se debe a que los valores que tendrá la expresión que define a y=f(x) depende enteramente de la variable x. La expresión f(x) se lee f de x.


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Evaluar funciones

Si definimos una función directamente como una regla general de correspondencia, debemos entender qué valores son los que estamos correspondiendo. Para esto evaluamos la función, esta técnica consiste en sustituir el valor de la variable independiente y así determinar el valor de la variable dependiente con quien ha sido correspondido, tal como lo veremos en los siguientes ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 8

Considerando la función f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por la regla de correspondencia f(x)=x. Supongamos que queremos evaluar esta función en x=2, entonces sustituimos la variable x por el número 2 de la siguiente forma:

f(2)=2

Esto quiere decir que la función corresponde al número dos con el número dos.

Ejemplo 9

Considerando la función f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por la regla de correspondencia f(x)=-x+3. Supongamos que queremos evaluar esta función en x=5, entonces sustituimos la variable x por el número 5 y efectuamos las operaciones indicadas, de la siguiente forma:

f(5)= -(5)+3 = -2

Esto quiere decir que la función corresponde al número cinco con el número menos dos.

Ejemplo 10

Considerando la función f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por la regla de correspondencia f(x)=x^2 + 6. Supongamos que queremos evaluar esta función en x=-1, entonces sustituimos la variable x por el número -1 y efectuamos las operaciones indicadas, de la siguiente forma:

f(-1)= (-1)^2+6 = 1+6 = 7

Esto quiere decir que la función corresponde al número menos uno con el número siete.

Ejemplo 11

Considerando la función f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por la regla de correspondencia f(x)=\sqrt{x} - 8. Supongamos que queremos evaluar esta función en x=9, entonces sustituimos la variable x por el número 9 y efectuamos las operaciones indicadas, de la siguiente forma:

f(9)= \sqrt{9} - 8 = 3-8 = -5

Esto quiere decir que la función corresponde al número nueve con el número menos cinco.


2 comentarios en “Funciones

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