Inecuaciones con Valor Absoluto (2 de 2)

¡Acotemos las soluciones!

Consideremos el segundo caso de las ecuaciones con valor absoluto, es decir, aquellas ecuaciones cuya relación viene establecida por la desigualdad menor que. Si queremos hallar todos los números cuya distancia a 0 es menor que 3 podemos plantear la siguiente inecuación:

|x| < 3

¿Qué números satisfacen esa inecuación? El número 5 no la satisface, pues |5|=5 y 5 no es menor que 3. Sin embargo, si consideramos 2 o 1 entonces estos números si satisfacen la inecuación, ¿podemos decir que cualquier menor que 3 satisface la inecuación? La respuesta es no, pues si consideramos -2, -1 ó 0 entonces estos números también satisfacen la inecuación entonces podemos notar que cualquier número que sea menor que 3 y a su vez mayor que -3 satisface la inecuación.

En general, diremos que al considerar una ecuación de la forma |x| > a, donde a es un número real, la solución viene dada por todos los números menores que a y todos los números mayores que a al mismo tiempo, formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

En general, considerando una inecuación del tipo |ax+b|<c hallaremos los valores que la satisfacen planteando la siguiente equivalencia:

La solución viene dada por la solución de cada una de las dos inecuaciones planteadas, analíticamente representaremos la solución como la intersección de los dos conjuntos que representan las soluciones de estas dos inecuaciones.

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de inecuaciones.

Ejemplo 1 |x+2|<2

x+2<2 \Rightarrow x<2-2 \Rightarrow x<0 (1)
y
x+2>-2 \Rightarrow x>-2-2 \Rightarrow x>-4 (2)

Solución (1): La solución de esta primera ecuación viene dada por todos los valores menores que 0, formalmente,

(-\infty,0)

Solución (2): La solución de esta segunda ecuación viene dada por todos los valores mayores que -4, formalmente,

(-4,+\infty)

La solución general viene dada por la intersección de estas dos soluciones, es decir, todos los valores mayores que -4 y todos los valores menores que 0,

Ejemplo 2 |3x-3|\leq6

3x - 3 \leq 6 \Rightarrow 3x \leq 9 \Rightarrow x \leq 3 (1)
y
3x - 3 \geq -6 \Rightarrow x \geq -3 \Rightarrow x \geq -1 (2)

Solución (1):

(-\infty,3]

Solución (2):

[-1,+\infty)

Solución General:
(-\infty,3] \cap [-1,+\infty) = [-1,3]

Ejemplo 3 |7x-11| < - 1

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, tenemos que sea cual sea el valor de x ese valor absoluto nunca será menor que -1. Básicamente la pregunta es: ¿Cuándo un número positivo es menor que un número negativo? La respuesta es: Nunca. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto vacío: \emptyset .

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