Inecuaciones con Valor Absoluto (2 de 2)

¡Acotemos las soluciones!

Consideremos el segundo caso de las ecuaciones con valor absoluto, es decir, aquellas ecuaciones cuya relación viene establecida por la desigualdad menor que. Si queremos hallar todos los números cuya distancia a 0 es menor que 3 podemos plantear la siguiente inecuación:

|x| < 3

¿Qué números satisfacen esa inecuación? El número 5 no la satisface, pues |5|=5 y 5 no es menor que 3. Sin embargo, si consideramos 2 o 1 entonces estos números si satisfacen la inecuación, ¿podemos decir que cualquier menor que 3 satisface la inecuación? La respuesta es no, pues si consideramos -2, -1 ó 0 entonces estos números también satisfacen la inecuación entonces podemos notar que cualquier número que sea menor que 3 y a su vez mayor que -3 satisface la inecuación.

En general, diremos que al considerar una ecuación de la forma |x| > a, donde a es un número real, la solución viene dada por todos los números menores que a y todos los números mayores que a al mismo tiempo, formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

En general, considerando una inecuación del tipo |ax+b|<c hallaremos los valores que la satisfacen planteando la siguiente equivalencia:

La solución viene dada por cada una de las dos inecuaciones planteadas, analíticamente representaremos la solución como la intersección de los dos conjuntos que representan las soluciones de estas dos inecuaciones.

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de inecuaciones.

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x+2|<2.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+2<2 \Rightarrow x<2-2 \Rightarrow x<0 (1)
y
x+2>-2 \Rightarrow x>-2-2 \Rightarrow x>-4 (2)

Solución (1): La solución de esta primera ecuación viene dada por todos los valores menores que 0, formalmente,

(-\infty,0)

Solución (2): La solución de esta segunda ecuación viene dada por todos los valores mayores que -4, formalmente,

(-4,+\infty)

La solución general viene dada por la intersección de estas dos soluciones, es decir, todos los valores mayores que -4 y todos los valores menores que 0,

Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |3x-3|\leq6.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

3x - 3 \leq 6 \Rightarrow 3x \leq 9 \Rightarrow x \leq 3 (1)
y
3x - 3 \geq -6 \Rightarrow x \geq -3 \Rightarrow x \geq -1 (2)

Solución (1):

(-\infty,3]

Solución (2):

[-1,+\infty)

Solución General:
(-\infty,3] \cap [-1,+\infty) = [-1,3]

Ejemplo 3

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |7x-11| < - 1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, tenemos que sea cual sea el valor de x ese valor absoluto nunca será menor que -1. Básicamente la pregunta es: ¿Cuándo un número positivo es menor que un número negativo? La respuesta es: Nunca. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto vacío: \emptyset .


Si la expresión que está en el lado derecho de la desigualdad tiene una variable, el procedimiento es muy parecido, la diferencia radica en que debemos excluir los valores de x para los cuales la expresión que se encuentra del lado derecho sea menor que cero pues en ese caso, no existe ningún número real cumpla con la desigualdad.

Veamos entonces con algunos ejemplos como abordar este tipo de ecuaciones.

Ejemplos

Ejemplo 4

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |2x-1| < -x+3.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

2x-1 < -x+3 \Rightarrow 2x+x < 3+1 \Rightarrow 3x < 4 \Rightarrow x < \frac{4}{3} (1)
y
2x-1 > -(-x+3) \Rightarrow 2x-1 > x-3 \Rightarrow 2x-x > -3+1 \Rightarrow x > -2 (2)

Solución (1) y (2):
\left( -\infty, \frac{4}{3} \right) \cap (-2, +\infty) = \left( -2 , \frac{4}{3} \right)

Finalmente, debemos excluir los valores de x para los cuales -x+3 < 0. Para esto calculamos los valores de x para los cuales -x+3 \geq 0 y posteriormente intersectamos con las soluciones antes calculadas, es decir,

-x+3 \geq 0 \Rightarrow -x \geq -3 \Rightarrow x \leq 3 \Rightarrow x \in (-\infty,3]

La solución general viene dada por la intersección de estos conjuntos:

\left( -2 , \frac{4}{3} \right) \cap (-\infty,3] = \left( -2 , \frac{4}{3} \right)

Ejemplo 5

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |-3x+2| \leq 4x+1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

-3x+2 \leq 4x+1 \Rightarrow -3x-4x \leq 1-2 \Rightarrow -7x \leq -1 \Rightarrow x \geq \frac{-1}{-7} \Rightarrow x \geq \frac{1}{7} (1)
y
-3x+2 \geq -(4x+1) \Rightarrow -3x+2 \geq -4x-1 \Rightarrow -3x+4x \geq -1-2 \Rightarrow x \geq -3 (2)

Solución (1) y (2):
[ \frac{1}{7} , +\infty ) \cap [ - 3 , +\infty ) = [ \frac{1}{7} , +\infty )

Finalmente, debemos excluir los valores de x para los cuales 4x+1 < 0. Para esto calculamos los valores de x para los cuales 4x+1 \geq 0 y posteriormente intersectamos con las soluciones antes calculadas, es decir,

4x+1 \geq 0 \Rightarrow 4x \geq -1 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{4} \Rightarrow x \in \left[ -\frac{1}{4} , +\infty \right)

La solución general viene dada por la intersección de estos dos conjuntos:

[ \frac{1}{7} , + \infty ) \cap [ -\frac{1}{4} , +\infty ) = [ \frac{1}{7} , + \infty )

Ejemplo 6

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x-2| \leq x+4.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x-2 \leq x+4 \Rightarrow x-x \leq 4+2 \Rightarrow 0 \leq 4 \Rightarrow 0 \leq 4 (1)
y
x-2 \geq -(x+4) \Rightarrow x-2 \geq -x-4 \Rightarrow x+x \geq -4+2 \Rightarrow 2x \geq -2 \Rightarrow x \geq -1 (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \leq 4, esta desigualdad es cierta, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con todo el conjunto los números reales pues cualquier valor de x que la satisface. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\mathbb{R} \cap \left( \frac{3}{2} , +\infty \right) = \mathbb{R}

Finalmente, debemos excluir los valores de x para los cuales x+4 < 0. Para esto calculamos los valores de x para los cuales x+4 \geq 0 y posteriormente intersectamos con las soluciones antes calculadas, es decir,

x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4 \Rightarrow x \in \left( -4 , +\infty \right)

La solución general viene dada por la intersección de estos dos conjuntos:

(-\infty,-1] \cap \left( -\infty , -4 \right) = (-\infty,-1]

Ejemplo 7

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x+3| < x-6.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+3 < x-6 \Rightarrow x-x < -6-3 \Rightarrow 0 < -9 \Rightarrow 0 < -9 (1)
y
x+3 > -(x-6) \Rightarrow x+3 > -x+6 \Rightarrow x+x > 6-3 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > \frac{3}{2} (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 < -9, esta desigualdad es falsa, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con el conjunto vacío \emptyset pues no hay ningún valor de x que la satisfaga. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\emptyset \cap \left( \frac{3}{2} , +\infty \right] = \emptyset

Por lo tanto, no existe ningún número real que cumpla con la desigualdad planteada.


¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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