Inecuaciones con Valor Absoluto (1 de 2)

¡Valores tanto de un lado como del otro!

Hemos notado que al trabajar con inecuaciones, éstas tienen un comportamiento cuando consideramos las desigualdades mayor que (>, \geq) y otro cuando consideramos las desigualdades menor que (<, \leq).

Veamos entonces este primer caso. Si queremos hallar todos los números cuya distancia a 0 es mayor que 7 podemos plantear la siguiente inecuación:

|x| > 7

¿Qué números satisfacen esa inecuación? El número 2 no la satisface, pues |2|=2 y 2 no es mayor que 7. Sin embargo, si consideramos 8, 9, 10 u 11 entonces estos números sí satisfacen la inecuación, en general podemos decir que cualquier número mayor que 5 satisface la inecuación pero, ¿serán esos los únicos números que satisfacen la inecuación? La respuesta es no, pues si consideramos -8, -9, -10, -18 ó -30 entonces estos números también satisfacen la inecuación, en general podemos decir que cualquier número menor que -7 satisface la inecuación. Con esto podemos concluir que cualquier número que sea mayor que 7 o menor que -7 satisface la inecuación.

En general, diremos que al considerar una ecuación de la forma |x| > a, donde a es un número real, la solución viene dada por todos los números mayores que a ó todos los números menores que a, formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

el valor absoluto de x es mayor que a
el valor absoluto de x es mayor que a

De forma aún más general, considerando una inecuación del tipo |ax+b|>c hallaremos los valores que la satisfacen planteando la siguiente equivalencia:

La solución viene dada por la solución de cada una de las dos inecuaciones planteadas, analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que representan las soluciones de estas dos inecuaciones.

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de inecuaciones.

Ejemplo 1 |x+3|>1

x+3>1 \Rightarrow x>1-3 \Rightarrow x>-2 (1)
ó
x+3<-1 \Rightarrow x<-1-3 \Rightarrow x<-4 (2)

Solución (1): La solución de esta primera ecuación viene dada por todos los valores mayores que -2, formalmente,

(-2,+\infty)

Solución (2): La solución de esta segunda ecuación viene dada por todos los valores menores que -4, formalmente,

(-\infty,-4)

La solución general viene dada por la unión de estas dos soluciones, es decir, todos los valores menores que -4 junto todos los valores mayores que -2,

(-\infty,-4) \cup (-2,+\infty)

Ejemplo 2 |4x+1|\geq7

4x+1>7 \Rightarrow 4x>6 \Rightarrow x>\frac{3}{2} (1)
ó
4x+1<-7 \Rightarrow 4x<-8 \Rightarrow x<-2 (2)

Solución (1):

\left[ \frac{3}{2},+\infty \right)

Solución (2):

(-\infty,-2]

Solución General:
(-\infty,-2] \cup \left[ \frac{3}{2},+\infty \right)

Ejemplo 3 |-2x+16| > -8

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, tenemos que sea cual sea el valor de x ese valor absoluto siempre será mayor que -8. Básicamente la pregunta es: ¿Cuándo un número positivo es mayor que un número negativo? La respuesta es: Siempre. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto de todos los números reales: \mathbb{R} = (-\infty,+\infty).

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