Inecuaciones Cuadráticas (2 de 2)

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?

Caso 2: ax^2+bx+c < 0

Sean p y q dos números reales. Consideremos el producto p \cdot q < 0, entonces fijándonos en la ley de los signos, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir p y q para que se satisfaga la desigualdad son las siguientes:

p > 0 \text{ y } q < 0
ó
p > 0 \text{ y } q < 0

Es decir, p y q deben deben ser siempre uno negativo y otro positivo. Ya que “más por menos es menos” y “menos por más es menos”. Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad “menor o igual” (\leq). Veamos entonces en los siguientes ejemplos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

Ejemplo 1 (x+4) \cdot (x-1) < 0

x+4 > 0 \text{ y } x-1 < 0
ó
x+4 < 0  \text{ y }  x-1 > 0

Posteriormente despejamos la variable x de cada una de estas inecuaciones lineales e identificamos cada línea para presentar la solución de la siguiente manera:

x > -4 \text{ y } x < 1 (1)
ó
x < -4 \text{ y } x > 1 (2)

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen la línea (1) o todos los números que satisfacen la línea (2), analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces como calcular ambas soluciones:

Solución 1:

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que -4 y menores que 1 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (-4,+\infty) y (-\infty,1) así

(-4,+\infty) \cap (-\infty,1) = (-4,1)

Solución 2:

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que -4 y mayores que 1 al mismo tiempo, sin embargo, no existe ningún número que cumpla con esta condición. Entonces al considerar la intersección de los intervalos (-\infty,-4) y (1,+\infty) esta se representará con el conjunto vacío, así, tenemos que

(-\infty,-4) \cap (1,+\infty) = \emptyset

la intersección de los dos conjuntos es vacía

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con (1) o todos los elementos que cumplen con (2), es por esto que consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
(-4,1) \cup \emptyset = (-4,1)

Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado, además, hagamos cada pasa de forma resumida para agilizar el desarrollo del ejemplo.

Ejemplo 2 x^2 + x - \dfrac{3}{4}  \leq 0

Notando que el polinomio no está factorizado, utilizamos el método del discriminante para factorizarlo considerando que sus coeficientes son a = 1, b = 1 y c = -\dfrac{3}{4}:

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \dfrac{ -1 \pm \sqrt{( 1 )^2 - 4 \cdot ( 1 ) \cdot ( -\frac{3}{4} )}}{2 \cdot ( 1 )} =  \dfrac{ 1  \pm  2 }{ 2 }

Así, x_1 = -\dfrac{ 1 }{ 2 } y x_2 = \dfrac{ 3 }{ 2 }, por lo tanto, podemos factorizar la inecuación cuadrática de la forma:

\left( x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \right) \cdot \left( x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \right) \leq 0

\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \geq 0 \text{ y }x - \dfrac{ 3 }{ 2 }  \leq  0
ó
\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 }  \leq  0  \text{ y } x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \geq 0

\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \geq 0 \text{ y }x - \dfrac{ 3 }{ 2 }  \leq  0
ó
\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 }  \leq  0  \text{ y } x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \geq 0

Solución 1:

\left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },+\infty \right) \cap \left( -\infty,\dfrac{ 3 }{ 2 } \right] = \left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },\dfrac{ 3 }{ 2 } \right]

Solución 2:

\left( -\infty, - \frac{ 1 }{ 2 } \right] \cap \left[\frac{ 3 }{ 2 },+\infty \right) = \emptyset

Solución General:
\left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right] \cup \emptyset = \left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right]

¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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