Inecuaciones Lineales (2 de 2)

¿Es posible acotar un número desconocido?

Suponga que usted debe llenar una piscina inflable (para bebés) con agua, ésta tiene actualmente treinta litros de agua, pero no puede cargar menos de cuarenta litros porque se desinfla y no debe cargar más de ochenta porque se derrama, ¿cuánta agua puede verter en esta piscina? Éste tipo de situaciones la podemos expresar con una inecuación en la que acotamos un número desconocido por otros dos de la siguiente forma:

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Si consideramos a, b, c y d números reales, entonces de forma general este tipo de ecuaciones las expresaremos así

Este tipo de inecuaciones son equivalentes a decir, que x satisface las inecuaciones $a < bx + c$ y $bx + c < d$ al mismo tiempo. Es decir, los valores de x que cumplen con:

Para hallar los valores de x que satisfacen la ecuación que hemos planteado al inicio de esta sección, debemos calcular la solución de cada una de estas inecuaciones por separado. Si retomamos nuestro ejemplo original $40 < 30 + x < 80$ , tenemos dos inecuaciones

Inecuación 1

$40 < 30 + x$

$\Rightarrow 40 - 30 < x$

$\Rightarrow 10 < x$

$\Rightarrow x > 10$

Inecuación 2

$30 + x < 80$

$\Rightarrow x < 80 - 30$

$\Rightarrow x < 50$

A partir de estas dos inecuaciones, tenemos dos conjuntos de soluciones expresados de forma comprensiva y de forma gráfica sobre la recta real, tenemos lo siguiente

Solución 1:

$\{ x \in R : x > 10 \}$

Solución 2:

$\{ x \in R : x < 50 \}$

Al considerar estas dos soluciones, debemos recordar que la solución de la inecuación original se encuentra en estos dos conjuntos al mismo tiempo, es decir, se encuentra en la intersección de estos dos conjuntos, por lo tanto x se encuentra en el siguiente conjunto

$\{ x \in R : x > 10 \} \cap \{ x \in R : x < 50 \}$

representación gráfica de la intersección de dos conjuntos

Notemos que gráficamente, los elementos de nuestra solución se encuentran en el área donde se cruzan las líneas, es decir, entre 10 y 50. Así, concluimos que se pueden verter entre diez y cincuenta litros de agua a la piscina inflable para que ésta se pueda usar con tranquilidad.

Nota: Si consideramos a menor que b, es lo mismo que considerar b mayor que a. Es decir, $a < b$ y $b > a$ son expresiones equivalentes.

Veamos en los siguientes ejemplos, como abordar este tipo de ecuaciones de una forma más resumida tomando en cuenta lo expuesto anteriormente.

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Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad, escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$1 \leq x + 3 \leq 5$

Inecuación 1

$1 \leq x + 3$

$\Rightarrow 1 -3 \leq x$

$\Rightarrow -2 \leq x$

$\Rightarrow x \geq -2$

Solución 1:

$\{ x \in R : x \geq -2 \}$

todos los números mayores o iguales que menos dos

Inecuación 2

$x + 3 \leq 5$

$\Rightarrow x \leq 5 - 3$

$\Rightarrow x \leq 2$

Solución 2:

$\{ x \in R : x \leq 2 \}$

todos los números menores o iguales que dos

Por lo tanto, la solución de la inecuación $1 \leq x + 3 \leq 5$ viene dada por la intersección de la solución 1 con la solución 2, es decir, el siguiente conjunto:

$\{ x \in R : -2 \leq x \} \cap \{ x \in R : x \leq 2 \}$

Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad, escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$4 \geq 2x + 5 > -2$

Inecuación 1

$4 \geq 2x + 5$

$\Rightarrow 4 - 5 \geq 2x$

$\Rightarrow -1 \geq 2x$

$\Rightarrow -\frac{1} {2}\geq x$

$\Rightarrow x \leq -\frac{1} {2} x$

Solución 1:

$\{ x \in R : x \leq -\frac{1}{2} \}$

Inecuación 2

$2x + 5 > -2$

$\Rightarrow 2x > -2 -5$

$\Rightarrow 2x > -7$

$\Rightarrow x > -\frac{7}{2}$

Solución 2:

$\{ x \in R : x > -\frac{7}{2} \}$

Por lo tanto, la solución de la inecuación $4 \geq 2x + 5 > -2$ viene dada por la intersección de la solución 1 con la solución 2, es decir,

$\{ x \in R : -\frac{1}{2} \geq x \} \cap \{ x \in R : x > -\frac{7}{2} \}$

Para concluir, podemos ver que hay soluciones de inecuaciones que vienen acotadas por un dos números. Más adelante será necesario expresar estas soluciones acotadas de una forma que facilite su interpretación y su ilustración.

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