Inecuaciones Lineales (1 de 2)

¿Qué son las inecuaciones?

Suponga que usted va al supermercado a comprar queso pero debe comprar menos de un kilo porque el dinero no le alcanza, la persona que vende el queso le corta un trozo que pesa un tercio de kilo pero a usted le gustaría un poco más. ¿Cuánto más queso debería cortar de modo que sea menos de un kilo?

Esta situación se puede plantear como una ecuación de la siguiente manera:

Podemos tantear la situación para determinar cuál es el valor de x que satisface esta desigualdad, sin embargo, podemos desarrollar un método para determinar este valor mediante las operaciones entre números reales tal como lo hicimos cuando calculamos la solución de ecuaciones.

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Partiendo del hecho que $\frac{1}{3} + x < 1$ es equivalente a $x + \frac{1}{3} < 1$ , la operación que primero se nos viene a la mente es pasar el un tercio restado al otro lado de la desigualdad, recordando que en realidad lo que está pasando es que estamos restando un tercio en ambos lados de la ecuación, pero, ¿se mantiene la desigualdad si restamos un número real en ambos lados la ecuación?

La respuesta es sí. Pues si usted tiene un kilo de queso en una nevera y un tercio de kilo en un plato, hay menos queso en el plato que en la nevera; y si de ambos toma un tercio, en la nevera aún habrá más que en el plato. Entonces,

$x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} < 1 - \frac{1}{3} \Rightarrow x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} < 1 - \frac{1}{3} \Rightarrow x < \frac{2}{3}$

Esto quiere decir que la persona que vende el queso debe cortar menos de dos tercios de kilo para que su pedido no se pase de un kilo. Nos damos cuenta que no es un único número el que satisface esta condición, así que todos los números que satisfacen esta inecuación son aquellos que se encuentran en el conjunto $\{ x \in R : x < \frac{2}{3} \}$ , este conjunto lo representaremos gráficamente en la recta real de la siguiente manera:

Notemos que para hallar el valor de x hicimos un procedimiento muy parecido al que usamos con las ecuaciones. En general el procedimiento será el mismo pero cuando multiplicamos en ambos lados de una inecuación hay que tomar en cuenta ciertas consideraciones.

Suponga que usted y un compañero de clases van a desayunar en un cafetín, ese día ninguno de los dos llevó dinero y la señora que atiende les fió porque ustedes dos son buenas personas, usted pide 4 empanadas y su compañero pide 2 empanadas. ¿cuál de los dos tiene más empanadas? Usted tiene más empanadas. Si cada empanada cuesta 20 perolitos, entonces usted debe 80 perolitos y su compañero debe 40 perolitos, ¿cuál de los dos debe más dinero? Esta situación se representa de la siguiente manera:

$2 < 4 \Longleftrightarrow (-20) \cdot 2 > (-20) \cdot 4 \Longleftrightarrow -40 > -80$

Esto lo que representa es que pese a que su compañero obtuvo menos empanadas que usted, al final su deuda (-80) es más grande que la de su compañero (-40), pues la de él está más cercana al cero de lo que está su deuda.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Lo que debemos notar es que si multiplicamos por un número negativo en ambos lados de una inecuación, cambia el sentido de la desigualdad. Formalmente, si consideramos a, b y c números reales, donde c es un número negativo, entonces:

$a > b \Longleftrightarrow a \cdot c < b \cdot c$

$a \geq b \Longleftrightarrow a \cdot c \leq b \cdot c$

$a < b \Longleftrightarrow a \cdot c > b \cdot c$

$a \leq b \Longleftrightarrow a \cdot c \geq b \cdot c$

En general una inecuación será una inecuación que se expresa de la siguiente forma:

A continuación veremos algunos ejemplos de inecuaciones en las cuales debemos hallar el valor de x y también veremos como expresar la solución:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$2 + 8x < 6$

$2 + 8x < 6$
$\Longleftrightarrow 8x + 2 - 2 < 6 - 2$
$\Longleftrightarrow 8x + 2 - 2 < 4$
$\Longleftrightarrow 8x + 0 < 4$
$\Longleftrightarrow 8x < 4$
$\Longleftrightarrow \frac{8}{8}x < \frac{4}{8}$
$\Longleftrightarrow 1 \cdot x < \frac{1}{2}$
$\Longleftrightarrow x < \frac{1}{2}$

solución: $\{ x \in R : x < \frac{1}{2} \}$

Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$1 + 3x \leq 7$

$1 + 3x \leq 7$
$\Longleftrightarrow 3x \leq 7 - 1$
$\Longleftrightarrow 3x \leq 6$
$\Longleftrightarrow x \leq \frac{6}{3}$
$\Longleftrightarrow x \leq 2$

solución: $\{ x \in R : x \leq 2 \}$

todos los números menores o iguales que dos

Note que en la representación gráfica de esta solución hemos usado un corchete ] en vez de un paréntesis, esto es para denotar que el número dos está incluido en nuestra solución pues ésta viene dada por todos los números menos o iguales que dos.

Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$\frac{5}{3} - 5x > \frac{2}{3}$

$\frac{5}{3} - 5x > \frac{2}{3}$
$\Longleftrightarrow - 5x > \frac{2}{3} - \frac{5}{3}$
$\Longleftrightarrow - 5x > - \frac{3}{3}$
$\Longleftrightarrow - 5x > -1$
$\Longleftrightarrow \frac{-5}{-5}x < \frac{-1}{-5}$ (Cambia el sentido de la desigualdad)
$\Longleftrightarrow x < 1$

solución: $\{ x \in R : x < 1 \}$

Ejemplo 4

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$5x - 3 \geq 12$

$5x - 3 \geq 12$
$\Longleftrightarrow 5x \geq 12 + 3$
$\Longleftrightarrow 5x \geq 15$
$\Longleftrightarrow x \geq \frac{15}{5}$
$\Longleftrightarrow x \geq 3$