Ecuaciones/Matemáticas

La Ecuación Cuadrática y la Fórmula Cuadrática

Anthonny Arias8 comentarios

¿La resolvente? ¿La chicharronera?
No, el Método del Discriminante.

Si a, b y c son números reales, definimos en términos generales una ecuación cuadrática como una ecuación de la forma

Ecuación cuadrática con coeficientes a, b y c | totumat.com

y diremos que a, b y c son los coeficientes de la ecuación.

Considerando la expresión ax^2+bx+c que define nuestra ecuación, definimos su discriminante como la expresión b^2-4 \cdot a \cdot c. Éste número nos determina la cantidad de soluciones que tiene nuestra ecuación original, de la siguiente manera:

  • Si el discriminante es mayor que cero, es decir, b^2-4 \cdot a \cdot c > 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones.
  • Si el discriminante es igual a cero, es decir,Si b^2-4 \cdot a \cdot c = 0, entonces la ecuación tiene una solución.
  • Si el discriminante es menor que cero, es decir, b^2-4 \cdot a \cdot c < 0, entonces la ecuación no tiene solución.

A partir del discriminante podemos establecer un método para calcular con exactitud la solución de la ecuación ax^2+bx+c, para esto usamos la siguiente fórmula que definirá el valor de la incógnita x:

Método del Discriminante

A esta fórmula se le conoce como la Fórmula Cuadrática y su aplicación se conoce como el Método del Discriminante. Veamos como aplicar el método del discriminante para calcular la solución de algunas ecuaciones cuadráticas identificando los coeficientes de cada una y posteriormente usando la fórmula indicada.

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Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: x^2+5x+6=0.

Para empezar, debemos notar que el término x^2 no tiene antepuesto ningún coeficiente, esto quiere decir que está multiplicado por uno, ya que x^2 = 1 \cdot x^2. Así, tenemos que a=1, b=5 y c=6. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}

= \dfrac{-5 \pm 1}{2}

A partir de esta última igualdad tenemos dos situaciones, el signo \pm indica que hay dos operaciones: una suma y una resta. Por lo tanto tendremos dos soluciones como sigue:

x = \dfrac{-5 + 1}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

x = \dfrac{-5 - 1}{2}

= \dfrac{-6}{2}

= -3

Así, x=-2 ó x=-3 son las dos soluciones de la ecuación x^2+5x+6=0. Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = 1, es mayor que cero.

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: x^2+2x-8=0.

Para empezar, debemos notar que el término x^2 no tiene antepuesto ningún coeficiente, esto quiere decir que está multiplicado por uno, ya que x^2 = 1 \cdot x^2. Así, tenemos que a=1, b=2 y c=-8. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2}

= \dfrac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}

= \dfrac{-2 \pm 6}{2}

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

x = \dfrac{-2 + 6}{2}

= \dfrac{4}{2}

= 2

x = \dfrac{-2 - 6}{2}

= \dfrac{-8}{2}

= -4

Así, x=2 ó x=-4 son las dos soluciones de la ecuación x^2+2x-8=0. Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = 36, es mayor que cero.

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Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: 5x^2-15x-50=0.

Para empezar, debemos notar que a diferencia de los ejemplos anteriores, el término x^2 tiene antepuesto el número cinco. Así, tenemos que a=5, b=-15 y c=-50. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2-4 \cdot (5) \cdot (-50)}}{2 \cdot 5}

= \dfrac{15 \pm \sqrt{225+1000}}{10}

= \dfrac{15 \pm \sqrt{1225}}{10}

= \dfrac{15 \pm 35}{10}

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

x = \dfrac{15 + 35}{10}

= \dfrac{50}{10}

= 5

x = \dfrac{15 - 35}{10}

= \dfrac{-20}{10}

= -2

Así, x=5 ó x=-2 son las dos soluciones de la ecuación 5x^2-15x-50=0. Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = 49, es mayor que cero.

Por otra parte, notemos que 5 es un factor común en cada uno de los sumandos, entonces, si sacamos 5 como un factor común, tenemos que 5(x^2-3x-10)=0, entonces, calculamos las raíces de la siguiente forma:

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}

= \dfrac{3 \pm 7}{2}

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

x = \dfrac{3 + 7}{2}

= \dfrac{10}{2}

= 5

x = \dfrac{3 - 7}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

Así, x=5 ó x=-2 son las dos soluciones de la ecuación 5x^2-15x-50=0. Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = 49, es mayor que cero.

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: 3x^2+12x+12=0.

Tenemos que a=3, b=12 y c=12. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(12) \pm \sqrt{(12)^2-4 \cdot (3) \cdot (12)}}{2 \cdot 3}

= \dfrac{-12 \pm \sqrt{144-144}}{6}

= \dfrac{-12 \pm 0}{6}

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

x = \dfrac{-12 + 0}{6}

= -2

x = \dfrac{-12 - 0}{6}

= -2

Así, x=-2 es la única solución de la ecuación 3x^2+12x+12=0. Notemos que sólo existe una solución pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = 0, es igual a cero.

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Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: 7x^2-2x+6=0.

Tenemos que a=7, b=-2 y c=6. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot (7) \cdot (6)}}{2 \cdot 7}

= \dfrac{2 \pm \sqrt{4-168}}{14}

= \dfrac{2 \pm \sqrt{-164}}{14}

No es posible calcular en los números reales la raúz cuadrada de un número negativo, por lo tanto, concluimos que la ecuación 7x^2-2x+6=0 no tiene solución en los números reales. Notemos que no existe la solución pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = -164, es menor que cero.

ulalá señor francés meme moe los simpsons | totumat.com
Cuando le dices «el método del discriminante»

8 comentarios en “La Ecuación Cuadrática y la Fórmula Cuadrática”

  8. Saludos, Anthonny.
    Muchas gracias por este apunte tan útil.
    En Colombia le decimos «ley de Charles Machete».
    Solo hay un punto en el que creo que sería bueno precisar que cuando b^2 – 4ac < 0 no tiene raíces *en R, pero sí tiene raíces en C*.
    Gracias de nuevo.

    Le gusta a 1 persona

    Responder

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